المسألة الثانية من امتحان 2017، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. أعط تمثيلاً شجرياً للتجربة.(35 درجةً)

   الجوابالدرجة: 5+30

   المرحلة الأولى الورشة، والثانية صلاحية القلم. من الطلب 1000 قلم، منها 600 من $A$ و400 من $B$، فـ$\mathbb{P}(A)=\frac{6}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$ و$\mathbb{P}(B)=\frac{4}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$. ونسبة غير الصالح في كلّ ورشةٍ احتمالٌ مشروط: $\mathbb{P}(D\mid A)=\frac{5}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}$ و$\mathbb{P}(D\mid B)=\frac{2}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}$، ومنهما بالحدث المعاكس $D^{\mathrm{\prime }}$: $\mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }}\mid A)=\frac{\mathrm{9<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}$ و$\mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }}\mid B)=\frac{\mathrm{9<!--\; -->8}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}$.

2. 2. احسب احتمال أن يكون القلم صالح للاستعمال.(30 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5+5+5+5+5

   الحدث «القلم صالح للاستعمال» هو $D^{\mathrm{\prime }}$. والحدثان $A$ و$B$ تجزئةٌ لـ$\mathrm{\Omega }$: كلّ قلمٍ من إحدى الورشتين، ولا يكون منهما معاً. فبالمبرهنة 2 في درس الاحتمالات المشروطة، أي مجموع احتمالَي المسارين المؤدّيين إلى $D^{\mathrm{\prime }}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }})=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }}\mid A)}\\ {\displaystyle +\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }}\mid B)}\\ {\displaystyle \mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }})=\frac{6}{\mathrm{1<!--\; -->0}}\times \frac{\mathrm{9<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\\ {\displaystyle +\frac{4}{\mathrm{1<!--\; -->0}}\times \frac{\mathrm{9<!--\; -->8}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }})=\frac{\mathrm{5<!--\; -->7<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}+\frac{\mathrm{3<!--\; -->9<!--\; -->2}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\\ {\displaystyle =\frac{\mathrm{9<!--\; -->6<!--\; -->2}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->6<!--\; -->2}}\end{array}$$

3. 3. إذا كان القلم صالحاً للاستعمال فما احتمال أن يكون مصنوعاً في الورشة $A$.(20 درجةً)

   الجوابالدرجة: 5+5+5+5

   المعلوم أنّ القلم صالح، والمطلوب ورشته، فالمطلوب $\mathbb{P}(A\mid D^{\mathrm{\prime }})$. وبالتعريف 1 للاحتمال المشروط، والبسط هو المسار من $A$ إلى $D^{\mathrm{\prime }}$ في الشجرة، والمقام من الطلب الثاني:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(A\mid D^{\mathrm{\prime }})=\frac{\mathbb{P}(A\cap D^{\mathrm{\prime }})}{\mathbb{P}(D^{\mathrm{\prime }})}}\\ {\displaystyle =\frac{\frac{6}{\mathrm{1<!--\; -->0}}\times \frac{\mathrm{9<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}}{\frac{\mathrm{9<!--\; -->6<!--\; -->2}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}}=\frac{\mathrm{5<!--\; -->7<!--\; -->0}}{\mathrm{9<!--\; -->6<!--\; -->2}}}\end{array}$$

   أي $\frac{\mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->5}}{\mathrm{4<!--\; -->8<!--\; -->1}}$ بعد الاختصار، نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->9}$.

4. 4. نسحب عشوائياً من الورشة $A$ قلمين معاً وليكن $X$ المتحوّل العشوائي الذي يمثّل عدد الأقلام المسحوبة الصالحة للاستعمال، احسب $\mathbb{P}(X=0)$.(15 درجةً)

   عدد الأقلام غير الصالحةالدرجة: 2

   في الورشة $A$ ستّمئة قلم، ونسبة غير الصالح منها $5\mathrm{\%}$:

   $$\frac{5\times \mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}=\mathrm{3<!--\; -->0}$$

   ففيها $\mathrm{3<!--\; -->0}$ قلماً غير صالح و$\mathrm{5<!--\; -->7<!--\; -->0}$ قلماً صالحاً.

   الجوابالدرجة: 3+3+5+2

   $X$ يعدّ الأقلام الصالحة بين القلمين، فالحدث $X=0$ أن يكون القلمان كلاهما غيرَ صالحَين. والسحب «معاً» اختيارُ مجموعةٍ جزئيّةٍ من عنصرين، والمجموعات كلّها متساوية الاحتمال: عددها $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}}{2}\right)$، والمواتية منها $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{\mathrm{3<!--\; -->0}}{2}\right)$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathbb{P}(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{\mathrm{3<!--\; -->0}}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}}{2}\right)}=\frac{\mathrm{4<!--\; -->3<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->7<!--\; -->9<!--\; -->7<!--\; -->0<!--\; -->0}}}\\ {\displaystyle =\frac{\mathrm{2<!--\; -->9}}{\mathrm{2<!--\; -->0}\times \mathrm{5<!--\; -->9<!--\; -->9}}=\frac{\mathrm{2<!--\; -->9}}{\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->9<!--\; -->8<!--\; -->0}}}\end{array}$$

   أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}$.

   في سلّم التصحيح: «3+3»، و«5 للتوافيق»، و«2 للنتيجة»، ولا يبيّن السلّم ما الثلاثتان.