المسألة الأولى من امتحان 2017، الدورة الثانية

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. أوجد نهاية التابع $f$ عند الصفر وعند $+\mathrm{\infty }$.(25 درجةً)

   إعادة الكتابةالدرجة: 5+5

   عند الصفر يسعى $x$ إلى $0$ ويسعى $(\ln x{)}^2$ إلى $+\mathrm{\infty }$، فالجداء $x(\ln x{)}^2$ حالةُ عدم تعيين. نكتب $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$ و$\ln x=2\ln \sqrt{x}$، لأنّ $\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle x(\ln x{)}^2={\left(\sqrt{x}\right)}^2{(2\ln \sqrt{x})}^2}\\ {\displaystyle f(x)=x+4{(\sqrt{x}\ln \sqrt{x})}^2}\end{array}$$

   وإذا سعى $x$ إلى $0$ بقيمٍ موجبة سعى $t=\sqrt{x}$ إلى $0$ بقيمٍ موجبة، ومن المبرهنة 4 في درس «نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع اللّوغاريتمي»: ${\lim }_{t\to 0,t>0}t\ln t=0$، فـ${\lim }_{x\to 0,x>0}\sqrt{x}\ln \sqrt{x}=0$.

   النهاية عند الصفرالدرجة: 5

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to 0,x>0}{\lim }f(x)=0+4\times 0^2}\\ {\displaystyle =0}\end{array}$$

   وفي السلّم طريقةٌ ثانيةٌ لإزالة عدم التعيين، بالدرجات نفسها: نضع $t=\ln x$، أي $x=e^t$ (2+2)، فإذا سعى $x$ إلى $0$ سعى $t$ إلى $-\mathrm{\infty }$، ويصير $f(x)=e^t+t^2{e}^t$ (2+2+2)، ونهاية كلٍّ من الحدّين $0$، فالنهاية $0+0=0$ (5). وهذه الطريقة تحتاج إلى ${\lim }_{t\to -\mathrm{\infty }}{t}^2{e}^t=0$ من درس «نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع الأسّي»، في الكتاب، الجزء الأوّل، الصفحة 177، وهو بعد هذا الدرس.

   الجوابالدرجة: 10

   وعند $+\mathrm{\infty }$ يسعى كلٌّ من $x$ و$(\ln x{)}^2$ إلى $+\mathrm{\infty }$، فلا عدم تعيين:

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$$

2. 2. أثبت أن $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)$(20 درجةً)

   المشتقالدرجة: 2+5+5

   التابع $x\mapsto \ln x$ اشتقاقيّ على $I$ ومشتقّه $\frac{1}{x}$، فمشتقّ $(\ln x{)}^2$ هو $2\ln x\times \frac{1}{x}$ بقاعدة مشتقّ القوّة. ومشتقّ $f$ مجموع مشتقّ $x$ ومشتقّ الجداء $x(\ln x{)}^2$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+(\ln x{)}^2+2\ln x\times \frac{1}{x}\times x$$

   التبسيطالدرجة: 5

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\ln x{)}^2+2\ln x+1$$

   الجوابالدرجة: 3

   وهذا مربّع مجموع، $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ مع $a=\ln x$ و$b=1$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\ln x+1{)}^2=g(x)$$

3. 3. حل المعادلة $g(x)=0$.(15 درجةً)

   المعادلة المكافئةالدرجة: 5

   المربّع ينعدم إذا وفقط إذا انعدم ما داخله:

   $$g(x)=0⟺\ln x+1=0$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   ولمّا كان $\ln \frac{1}{e}=-\ln e=-1$، والتابع $\ln$ تقابلٌ من $I$ على $\mathbb{R}$، فللمعادلة حلٌّ وحيد:

   $$\ln x=-1⟺x=\frac{1}{e}$$

   والعدد $\frac{1}{e}$ ينتمي إلى $I$.

4. 4. نظم جدول بتغيرات $f$.(15 درجةً)

   الصورةالدرجة: 5

   $$f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}+\frac{1}{e}(-1{)}^2=\frac{2}{e}$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   من الطلب الثاني $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\ln x+1{)}^2\ge 0$ على $I$، ومن الطلب الثالث لا ينعدم إلّا عند $\frac{1}{e}$. فالمشتق موجبٌ تماماً على $I$ باستثناء نقطةٍ واحدة، والتابع $f$ متزايدٌ تماماً على $I$. والنهايتان من الطلب الأوّل:

   $x$	$0$		$\frac{1}{e}$		$+\mathrm{\infty }$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$+$	$0$	$+$
   $f(x)$	$0$	$\nearrow$	$\frac{2}{e}$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$

5. 5. أكتب معادلة المماس $\mathrm{\Delta }$ للخط $C$ في نقطة فاصلتها $x=\frac{1}{e}$ وارسم المماس $\mathrm{\Delta }$ وارسم $C$.(25 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   معادلة المماس للخطّ $C$ في النقطة التي فاصلتها $a$:

   $$\mathrm{\Delta }:y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$$

   التعويضالدرجة: 5

   ومع $a=\frac{1}{e}$: من الطلب الثالث $f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{e}\right)=g\left(\frac{1}{e}\right)=0$، ومن الطلب الرابع $f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{2}{e}$:

   $$\mathrm{\Delta }:y=0\times (x-\frac{1}{e})+\frac{2}{e}$$

   معادلة المماسالدرجة: 5

   $$\mathrm{\Delta }:y=\frac{2}{e}$$

   فالمماس أفقيّ، ومع ذلك لا يبلغ $f$ عند $\frac{1}{e}$ قيمةً حدّيّة: المشتق ينعدم هناك ولا تتغيّر إشارته.

   الجوابالدرجة: 5+5

   نرسم $\mathrm{\Delta }$ مستقيماً أفقيّاً على الارتفاع $\frac{2}{e}$، أي نحو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->4}$. ثمّ نرسم $C$ مستعينين بالجدول: يبدأ من جوار المبدأ ولا يمرّ به، لأنّ $0$ ليس من $I$، ويصعد بشدّة أوّلاً لأنّ $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$ عند الصفر. ثمّ يمسّ $\mathrm{\Delta }$ في النقطة $(\frac{1}{e},\frac{2}{e})$ ويعبره هناك، ويمرّ بالنقطة $(1,1)$، ثمّ يصعد بلا حدّ.