الدرس 6: المعادلات من الدرجة الثانية ذات الأمثال الحقيقيّة

التمرين الثالث من امتحان 2022، الدورة الأولى

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2022، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

1.جد الجذرين التربيعيين للعدد العقدي $ω = - 3 + 4 i$
2.ثمّ حل في $C$ المعادلة: $z^{2} + 2 (1 + i) z + i + \frac{3}{4} = 0$

الأمثال: درس «المعادلات من الدرجة الثانية ذات الأمثال الحقيقيّة» يقتصر على الأمثال الحقيقيّة، والكتاب، الجزء الثاني، الصفحة 104، يقول عن $a$ و $b$ و $c$ إنّها «ثلاثة أعداد حقيقية»، ويفرّق بين $Δ > 0$ و $Δ = 0$ و $Δ < 0$ . وأمثال معادلة الطلب الثاني عقديّة، ومميّزها $- 3 + 4 i$ لا يقال عنه موجبٌ ولا سالب. لكنّ الصفحة نفسها تكتب الشكل القانونيّ متذكّرةً «أنّ قواعد الحساب في $C$ هي نفسها قواعد الحساب في $R$ »، وهذه الكتابة لا تحتاج إلى أمثالٍ حقيقيّة. فإذا كان $δ$ جذراً تربيعيّاً لـ $Δ$ صار الطرف الأيسر فرق مربّعين، وجذرا المعادلة $\frac{- b - δ}{2 a}$ و $\frac{- b + δ}{2 a}$ . وطريقة الجذر التربيعيّ بالشكل الجبريّ في «نشاط 2: الجذور التربيعية لعدد عقدي»، الصفحة 108، والكتاب يطلب في «تمرينات ومسائل»، التمرين 14 في الصفحة 111، الجذرين التربيعيّين للعدد $- 3 + 4 i$ نفسه، ثمّ معادلاتٍ أمثالها عقديّة.

الإشارة: المعادلتان (1) و(3) وحدهما تعطيان $x = \pm 1$ و $y = \pm 2$ ، أي أربعة أزواج. والمعادلة (2) هي التي تختار منها: $2 x y = 4$ موجب، فـ $x$ و $y$ من إشارةٍ واحدة. ومن أخذ $1 - 2 i$ وجد $(1 - 2 i)^{2} = - 3 - 4 i$ ، لا $ω$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. جد الجذرين التربيعيين للعدد العقدي $ω = - 3 + 4 i$ (35 درجةً)
المعادلات الثلاثالدرجة: 5+5+5
نبحث عن $z = x + i y$ ، حيث $x$ و $y$ حقيقيّان، يحقّق $z^{2} = ω$ . ولدينا $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y$ ، وعددان عقديّان متساويان إذا تساوى جزآهما الحقيقيّان وجزآهما التخيّليّان. ونستفيد أيضاً من $∣ z ∣^{2} = ∣ ω ∣$ ، و $∣ ω ∣ = \sqrt{9 + 16} = 5$ :
$\begin{array}{c} x^{2} - y^{2} = - 3 (1) \\ 2 x y = 4 (2) \\ x^{2} + y^{2} = 5 (3) \end{array}$
الحلّ الأوّلالدرجة: 3+2
نجمع (1) و(3) فنجد $2 x^{2} = 2$ ، ونطرح (1) من (3) فنجد $2 y^{2} = 8$ . فـ $x = \pm 1$ و $y = \pm 2$ ، والمعادلة (2) تعطي $x y = 2 > 0$ ، فـ $x$ و $y$ من إشارةٍ واحدة. نأخذ $x$ موجباً:
$x_{1} = 1, y_{1} = 2$
الحلّ الثانيالدرجة: 3+2
ونأخذ $x$ سالباً:
$x_{2} = - 1, y_{2} = - 2$
الجوابالدرجة: 5+5
فللعدد $ω$ جذران تربيعيّان متعاكسان، نسمّيهما $δ_{1}$ و $δ_{2}$ :
$\begin{array}{c} δ_{1} = 1 + 2 i \\ δ_{2} = - 1 - 2 i \end{array}$
تحقّق: $(1 + 2 i)^{2} = 1 + 4 i - 4$ ، أي $- 3 + 4 i$ .
2. ثمّ حل في $C$ المعادلة: $z^{2} + 2 (1 + i) z + i + \frac{3}{4} = 0$ (25 درجةً)
المميّزالدرجة: 5+5+5
المعادلة من الشكل $a z^{2} + b z + c = 0$ مع $a = 1$ و $b = 2 (1 + i)$ و $c = i + \frac{3}{4}$ ، و $(1 + i)^{2} = 2 i$ :
$\begin{array}{c} Δ = b^{2} - 4 a c \\ = 4 (1 + i)^{2} - 4 (i + \frac{3}{4}) \\ = 8 i - 4 i - 3 = - 3 + 4 i \end{array}$
فالمميّز هو العدد $ω$ نفسه، وجذراه التربيعيّان من الطلب الأوّل.
الجذر الأوّلالدرجة: 2+3
الشكل القانونيّ ${(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}} = 0$ يبقى صحيحاً هنا، ومع $Δ = δ_{1}^{2}$ يصير الطرف الأيسر فرق مربّعين، فالجذران $\frac{- b - δ_{1}}{2 a}$ و $\frac{- b + δ_{1}}{2 a}$ :
$\begin{array}{c} z_{1} = \frac{- b - δ_{1}}{2 a} \\ = \frac{- 2 - 2 i - 1 - 2 i}{2} \\ = - \frac{3}{2} - 2 i \end{array}$
في سلّم التصحيح: «إذا حلّ الطالب المعادلة وتوصّل الى $Δ$ ثمّ أوجد جذره وتابع في حلّ المعادلة ينال درجة الطلب الأوّل كاملة»، أي من بدأ بالمعادلة فوجد $Δ = - 3 + 4 i$ ثمّ جذرَيه التربيعيّين نال درجات الطلب الأوّل أيضاً.
الجوابالدرجة: 2+3
$\begin{array}{c} z_{2} = \frac{- b + δ_{1}}{2 a} \\ = \frac{- 2 - 2 i + 1 + 2 i}{2} = - \frac{1}{2} \\ S = {- \frac{3}{2} - 2 i, - \frac{1}{2}} \end{array}$
تحقّق عند $- \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{4} - (1 + i) + i + \frac{3}{4} = 0$ . وفي السلّم طريقةٌ ثانية بالإتمام إلى مربّعٍ كامل: نضيف $(1 + i)^{2}$ إلى الطرفين (5)، فنجد $(z + 1 + i)^{2} - \frac{1}{4} (- 3 + 4 i) = 0$ (5)، ثمّ $(z + 1 + i)^{2} - {[\frac{1}{2} (1 + 2 i)]}^{2} = 0$ (5)، والوصول إلى $z_{1}$ و $z_{2}$ (5+5).