مرافق عدد عقديالأعداد العقديّة

خذ عدداً عقدياً $z=a+ib$. مرافقه هو العدد نفسه مع قلب إشارة الجزء التخيّلي وحده. الجزء الحقيقي لا يتغيّر.

نرمز للمرافق بخطّ فوق الحرف، فنكتب $\bar{z}$ ونقرؤه: مرافق $z$.

ثلاثة أمثلة من الكتاب تكفي لتثبيت الفكرة: مرافق $1+i$ هو $1-i$، ومرافق $3$ هو $3$ نفسه، ومرافق $-2i$ هو $2i$.

تذكّر: العدد الحقيقي مرافقه نفسه، لأنّ جزأه التخيّلي صفر ولا شيء ينقلب.

الفكرة تصير أوضح على الورقة. إذا كانت $M$ صورة العدد $z$، فصورة مرافقه $M^{\mathrm{\prime }}$ هي نظيرتها بالنسبة إلى محور الفواصل: على البعد نفسه منه، وعلى الجهة الأخرى.

بعبارة الهندسة: $M^{\mathrm{\prime }}$ هي نظيرة $M$ بالنسبة إلى محور الفواصل. والتناظر لا يغيّر المسافة إلى المبدأ، فالقطعتان $OM$ و $O{M}^{\mathrm{\prime }}$ متساويتان.

تذكّر: المرافق يغيّر مكان النقطة، لا بعدها عن المبدأ. لذلك الطويلة واحدة للعددين.

من التعريف وحده تخرج عدّة نتائج، وكلّها تُستعمل لاحقاً. أوّلها أنّ المرافق عملية تعود على نفسها: إذا رافقت مرّتين، عدت إلى حيث بدأت.

وإذا جمعت العدد مع مرافقه، حذف الجزآن التخيّليان بعضهما وبقي ضعف الجزء الحقيقي. وإذا طرحت، حذف الجزآن الحقيقيان وبقي ضعف الجزء التخيّلي مضروباً بـ $i$.

من هاتين نستخرج الجزأين بلا حاجة إلى فتح الكتابة الجبرية:

والنتيجة الأهمّ للحساب: عدد مضروب بمرافقه يعطي مربّع الطويلة، وهو عدد حقيقي موجب. هذه هي بالضبط الحيلة التي جعلت المقام حقيقياً في الدرس السابق.

السؤال الطبيعي: إذا رافقنا مجموعاً أو جداءً، هل نستطيع أن نرافق كل جزء على حدة؟ الجواب نعم، وهذا ما يجعل المرافق أداة عملية.

انتبه: المرافقة تطال كل شيء في المقدار: كل عامل وكل ثابت. إذا ظهر $i$ في ثابت، فهو ينقلب هو أيضاً. مثلاً مرافق $2iz$ هو $-2i\bar{z}$، لا $2i\bar{z}$.

الكتاب يجيب عن هذا السؤال بجوابين. الأوّل أنّ $z\bar{z}$ عدد حقيقي، ولذلك يفيد في حساب الشكل الجبري لخارج قسمة. والثاني أنّه يعطي شرطاً لازماً وكافياً ليكون عدد ما حقيقياً أو تخيّلياً بحتاً.

تذكّر: كلّما رأيت مقاماً عقدياً، اضرب البسط والمقام بمرافق المقام. هذه جملة واحدة تحلّ كل مسائل القسمة في الوحدة.