الشكل المثلّثي لعدد عقديالأعداد العقديّة

من هذه الفقرة فصاعداً نزوّد المستوي بمعلم متجانس $(O;\vec{u},\vec{v})$، حيث $\overrightarrow{OI}=\vec{u}$ و $\overrightarrow{OJ}=\vec{v}$.

لتكن $M$ صورة العدد $z=a+ib$. إذا كانت $M$ مختلفة عن المبدأ $O$، فلها إحداثيّتان قطبيّتان $(r;\theta )$: البُعد عن المبدأ، والزاوية مع الاتّجاه الموجب.

البُعد هو الطويلة التي نعرفها، والزاوية تُقاس بالراديان من محور الفواصل.

تذكّر: المبدأ $O$ وحده لا زاوية له، لأنّه لا يحدّد اتّجاهاً. لذلك يُشترط دائماً أن يكون $z$ غير معدوم.

من مثلّث قائم بسيط في الشكل السابق نقرأ الجزأين بدلالة $r$ و $\theta$: الضلع الأفقي $a=r\cos \theta$ والضلع الشاقولي $b=r\sin \theta$.

نعوّض هذين في $z=a+ib$ ونخرج المشترك $r$، فنحصل على الصيغة التي تحمل اسم هذا الدرس:

انتبه: الكتابة $\theta =\phi (2\pi )$ ليست معادلة تعطي عدداً واحداً. معناها $\theta =\phi +2\pi k$ حيث $k$ عدد من $\mathbb{Z}$. الزاوية صنف كامل من القيم، لا قيمة واحدة، والقوس جزء من العبارة لا زينة.

الاتّجاه الأوّل سهل: إذا عرفت $r$ و $\theta$، فالجزآن يخرجان مباشرة.

الاتّجاه المعاكس يحتاج انتباهاً. الطويلة تخرج بفيثاغورس، أمّا الزاوية فلا يكفي شرط واحد لتعيينها.

انتبه: الشرطان معاً، لا واحد منهما. التجيب وحده يترك زاويتين ممكنتين في الحالة العامّة، إحداهما فوق المحور والأخرى تحته، والجيب هو الذي يفصل بينهما. ولا تلتقيان إلّا حين يكون الجيب معدوماً، أي على المحور نفسه. من يكتفي بالتجيب يقع في نصف الحالات على الزاوية الخطأ.

من الشكل المثلّثي تخرج زاويتان أخريان بلا حساب. المرافق نظير العدد بالنسبة إلى محور الفواصل، فزاويته معاكسة. والمعاكس يقع في الجهة المقابلة تماماً، فزاويته تزيد بنصف دورة.

الصيغة $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ لا تكون شكلاً مثلّثياً إلّا بشرط واحد: أن يكون $r$ موجباً تماماً. فهو طويلة، والطويلة مسافة.

خذ مثال الكتاب $z=-2(\cos \theta +i\sin \theta )$. المعامل سالب، فهذه ليست الصيغة المطلوبة. نُدخل الإشارة في الزاوية بدل أن نتركها أمام القوس:

وعندها نقرأ الطويلة والزاوية بأمان:

انتبه: الإشارة السالبة لا تدخل في الطويلة أبداً. هي تنتقل إلى الزاوية بإضافة $\pi$. من يكتب $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=-2$ يكتب مسافة سالبة.

الزاوية تعطي شرطاً سريعاً لتمييز نوع العدد، وهو يُسأل كثيراً. عدد يقع على محور الفواصل حقيقي، وعلى محور التراتيب تخيّلي بحت.

انتبه: الشرط $\arg z=0(2\pi )$ يكفي للحكم بأنّ $z$ حقيقي، لكنّه ليس لازماً: الأعداد الحقيقية السالبة زاويتها $\pi$، وهي حقيقية تماماً. فالشرط الجامع هو $\arg z=0(\pi )$. والكلام كلّه يسقط إذا كان $z$ معدوماً، لأنّ زاويته غير معرّفة أصلاً.

تذكّر: الشكل المثلّثي ليس زينة. سنراه في الدرس القادم يجعل الضرب والقوى أسهل بكثير من الشكل الجبري.