الشكل الأسّي لعدد عقديالأعداد العقديّة

في الدرس السابق كتبنا كل عدد عقدي غير معدوم بالشكل $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$. لنبدأ هنا من أبسط حالة ممكنة: أن تكون الطويلة $1$ بالضبط.

إذا كانت $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ فالمعامل أمام القوس يختفي، ولا يبقى من العدد إلّا زاويته، أي $z=\cos \theta +i\sin \theta$. وبالعكس، كل عدد مكتوب بهذه الصيغة طويلته $\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$. نجمع هذه الأعداد في مجموعة يُرمز إليها عادةً بالرمز $\mathbb{U}$.

تذكّر: على $\mathbb{U}$ لم يبقَ للعدد إلّا وصف واحد: زاويته. الطويلة معروفة سلفاً وتساوي $1$.

بما أنّ الزاوية وحدها تعيّن العدد على $\mathbb{U}$، صار من الطبيعي أن ننظر إلى التابع الذي يأخذ زاوية ويعطي العدد الموافق لها. نسمّيه $E$، وهو تابع من $\mathbb{R}$ نحو $\mathbb{U}$.

لهذا التابع خاصّة واحدة، وهي كل شيء في هذا الدرس:

والبرهان ليس أكثر من نشر الجداء ثمّ استعمال صيغتي جمع الزوايا اللتين تعرفهما من المثلّثات:

تذكّر: الجمع في الزوايا صار ضرباً في الأعداد. هذا بالضبط سلوك التابع الأسّي الذي نعرفه في $\mathbb{R}$، حيث $e^a\cdot e^b=e^{a+b}$.

تابع يحوّل الجمع إلى ضرب: هذا هو سلوك التابع الأسّي بعينه، ومن هنا جاءت فكرة الرمز الجديد. لهذا السبب وحده اتّفق الرياضيّون على كتابة $E(\theta )$ بالرمز $e^{i\theta }$. انتبه إلى طبيعة الخطوة: هذه ليست نتيجة نبرهنها، بل اصطلاح على رمز، اختير لأنّه يحفظ القاعدة التي نعرفها.

انتبه: الرمز $e^{i\theta }$ ليس عدداً حقيقياً موجباً بوجهٍ عامّ، ولا يكبر كلّما كبرت $\theta$. طويلته $1$ دائماً، فهو يدور على الدائرة ولا يتمدّد. وأوضح دليل على ذلك أنّ $e^{i\pi }=-1$، وهي قيمة سالبة.

سؤال الكتاب في هذا الموضع يستحق التوقّف: بما أنّ $0=i\times 0$، صار للعدد $e^0$ تعريفان. الأوّل من $\mathbb{R}$ ويعطي $e^0=1$، والثاني من التعريف الجديد ويعطي $\cos 0+i\sin 0=1$. التعريفان متّفقان، والرمز الجديد لا يناقض القديم.

الآن نرفع القيد. ليكن $z$ عدداً عقدياً غير معدوم، طويلته $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ وزاويته $\theta$. كتبناه في الدرس السابق $z=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }(\cos \theta +i\sin \theta )$، والقوس الآن له رمز مختصر:

انتبه: الصفر لا شكل أسّي له. طويلته $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$ معرّفة تماماً ومسموحة، أمّا $\arg 0$ فلا معنى له، لأنّ المبدأ لا يحدّد اتّجاهاً. لذلك يُشترط في التعريف أن يكون $z$ غير معدوم، وهذا الشرط جزء من التعريف لا تفصيل جانبي.

المثال نفسه يعطي عددين آخرين: $z_2=\frac{3}{2}{e}^{i\frac{\pi }{2}}$ و $z_3=\sqrt{3}{e}^{-i\frac{2\pi }{3}}$. وبالطريقة ذاتها نجد $z_2=\frac{3}{2}i$ و $z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$.

الآن يظهر الربح. اضرب عددين بالشكل الأسّي، فلن تفعل شيئاً غير ضرب المعاملين وجمع الأسّين، تماماً كقواعد القوى التي تعرفها منذ سنوات.

والبرهان جاهز مما سبق: المعاملان يُضربان لأنّ طويلة الجداء جداء الطويلتين، والزاويتان تُجمعان لأنّ $E(\theta )E({\theta }^{\mathrm{\prime }})=E(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$.

انتبه: لا تُهمل القوس $(2\pi )$ في شرط التساوي. العددان $e^{i\cdot 0}$ و $e^{i2\pi }$ متساويان تماماً مع أنّ $0\mathrm{\ne }2\pi$. الزاوية صنف كامل من القيم، لا قيمة واحدة، ومن قرأ السطر كمعادلة عادية أضاع نصف الحلول.

من قاعدة الضرب وحدها تخرج نتيجتان مشهورتان. الأولى تأتي من تكرار الضرب $n$ مرّة إذا كان $n$ موجباً، ومن قاعدة القسمة $\frac{1}{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$ إذا كان $n$ سالباً. والثانية تأتي من جمع $e^{i\theta }$ مع $e^{-i\theta }$ ثمّ طرحهما.

يكفي أن نقسم السطر الأوّل على $2$ والثاني على $2i$ لنصل إلى ما يسمّيه الكتاب علاقتَي أويلر.

انتبه: في علاقة الجيب المقام $2i$ وليس $2$. من ينساه يحصل على عدد تخيّلي بحت في مكان عدد حقيقي، ويكتشف الخطأ متأخّراً بعد سطور من الحساب.

تذكّر: دستور دوموافر هو الذي يجعل رفع عدد عقدي إلى قوّة عالية سطرين اثنين، بدل نشر طويل يمتلئ بحدود $i^2$ و $i^3$.

نختم بمثال الكتاب الثاني. هو أصعب قليلاً، لا لأنّ الحساب فيه أطول، بل لأنّ الجواب معلّق بشرط لا بدّ من التحقّق منه قبل إعلانه.

انتبه: الشرط معلّق بإشارة $\cos \theta$، لا بعضوية $\theta$ في هذا المجال. فالتابع $\cos$ دوريّ، وقد تخرج $\theta$ عن المجال ويبقى $\cos \theta$ موجباً، كما عند $\theta =2\pi$ حيث $\cos \theta =1$. فإذا كان $\cos \theta$ سالباً، كما في المجال $]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}[$، فالكتابة $(2\cos \theta )e^{i\theta }$ ليست شكلاً أسّياً، وتنتقل الإشارة إلى الزاوية فنكتب $z=(-2\cos \theta )e^{i(\theta +\pi )}$، تماماً كما في الشكل المثلّثي. وإذا كان $\cos \theta =0$، أي $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$، فإنّ $z=0$، فلا شكل أسّي له أصلاً ولا زاوية. المجال المذكور في نص المسألة ليس زينة، بل هو الذي يضمن $\cos \theta >0$ فيجعل الجواب صحيحاً.

تذكّر: الشكل الأسّي ليس رمزاً أقصر فحسب. هو الذي يحوّل الضرب والقسمة والقوى إلى جمع وطرح وضرب في الزوايا، وعليه ستبنى المسائل التي تأتي بعد هذه الوحدة.