التمرين الثاني من امتحان 2022، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. أثبت أنّ $f$ مستمر عند الصفر.(15 درجةً)

   القانونالدرجة: 5

   التابع $f$ مستمرٌّ عند $a$ إذا كانت نهايته عند $a$ تساوي قيمته هناك. و$f$ معرّفٌ على $[0,+\mathrm{\infty }[$ فقط، فلا نقترب من الصفر إلّا من جهة $x>0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)}\\ {\displaystyle \underset{x\to 0,x>0}{\lim }f(x)=f(0)}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   عند $x>0$ يكون $f(x)=\frac{x}{x-\ln x}$. ونهاية $\ln x$ عند الصفر $-\mathrm{\infty }$، فالمقام $x-\ln x$ يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$، والبسط إلى $0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to 0,x>0}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }}\\ {\displaystyle \underset{x\to 0,x>0}{\lim }f(x)=0=f(0)}\end{array}$$

   فالتابع $f$ مستمرٌّ عند الصفر.

2. 2. ادرس قابلية الاشتقاق عند الصفر وفسّر النتيجة التي حصلت عليها هندسياً.(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   العدد المشتق عند $a$ هو نهاية $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ عند $h\to 0$ إن كانت عدداً حقيقيّاً. نضع $a=0$ و$h=x$، ونقترب من الصفر من جهة $x>0$ وحدها:

   $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$

   التعويضالدرجة: 5

   مع $f(0)=0$ و$f(x)=\frac{x}{x-\ln x}$ عند $x>0$، ونختصر $x\mathrm{\ne }0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x}{x(x-\ln x)}}\\ {\displaystyle =\frac{1}{x-\ln x}}\end{array}$$

   النهايةالدرجة: 5

   المقام $x-\ln x$ يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$ كما في الطلب الأوّل:

   $$\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\frac{1}{x-\ln x}=0$$

   والنهاية $0$ عددٌ حقيقيّ.

   الجوابالدرجة: 2+3

   فالتابع $f$ اشتقاقيٌّ عند الصفر، و$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. وهندسيّاً: ميل المماس للخطّ البيانيّ للتابع $f$ عند المبدأ $O(0,0)$ معدوم، فهذا الخطّ يقبل عند المبدأ مماسّاً أفقيّاً معادلته:

   $$y=0$$

   في سلّم التصحيح: «إذا عبّر عن التفسير الهندسي بالرسم ينال الدرجة المخصصة»، و«إذا كتب ميل المماس للمنحني معدوم ينال الدرجات المخصصة»، أي يكفي للتفسير رسمٌ يبيّن المماس الأفقيّ عند المبدأ، أو جملةٌ تقول إنّ ميل المماس معدوم.

3. 3. بيّن أن الخط البياني $C$ للتابع $f$ يقبل مقارباً أفقياً عند $+\mathrm{\infty }$ جد معادلته.(15 درجةً)

   إخراج العاملالدرجة: 5

   عند $+\mathrm{\infty }$ البسط والمقام يسعيان إلى $+\mathrm{\infty }$، وهذه حالة عدم تعيين. عند $x>0$ نُخرج $x$ عاملاً مشتركاً من المقام:

   $$x-\ln x=x(1-\frac{\ln x}{x})$$

   الاختزالالدرجة: 5

   ونختصر $x\mathrm{\ne }0$ من البسط والمقام:

   $$f(x)=\frac{1}{1-\frac{\ln x}{x}}$$

   الجوابالدرجة: 5

   ونعلم أنّ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$، فالمقام يسعى إلى $1$:

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=1$$

   فالمستقيم الذي معادلته $y=1$ مقاربٌ أفقيّ للخطّ $C$ عند $+\mathrm{\infty }$.

4. 4. اكتب معادلة المماس للخط $C$ في نقطة منه فاصلتها $(1)$ واستعمل التقريب التآلفي المحلي لحساب قيمة تقريبية للعدد $f(\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1})$.(20 درجةً)

   المشتقالدرجة: 3+5+2

   على $]0,+\mathrm{\infty }[$ يكون $f=\frac{u}{v}$ مع $u(x)=x$ و$v(x)=x-\ln x$، و$v^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\frac{1}{x}$، و${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(1)=\frac{1}{1-\ln 1}=1}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x-\ln x-x+1}{(x-\ln x{)}^2}}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1-\ln x}{(x-\ln x{)}^2}}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{1-0}{1^2}=1}\end{array}$$

   معادلة المماسالدرجة: 5

   المماس عند النقطة التي فاصلتها $a$ هو $T:y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$، ومع $a=1$:

   $$y=1\times (x-1)+1=x$$

   فالمماس هو المستقيم $T:y=x$.

   دستور التقريبالدرجة: 3

   في جوار $a$ نستبدل بالتابع التابعَ التآلفيّ، حيث $h$ قريبٌ من الصفر:

   $$f(a+h)\approx f(a)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$$

   في سلّم التصحيح: «إذا عوّض مباشرة في معادلة المماس ينال الدرجات المخصصة للتقريب»، أي من عوّض $x=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1}$ في $y=x$ مباشرةً نال درجات التقريب.

   الجوابالدرجة: 2

   مع $a=1$ و$h=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}$:

   $$f(\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1})\approx 1+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\times 1=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1}$$

   والآلة الحاسبة تعطي $f(\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1})\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->4<!--\; -->9}$.