المسألة الثالثة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسبِ النّسبة بينَ قوَّة التجاذب الكتلي بين الإلكترون والبروتون، والقوَّة الكهربائيّة التي تجذبُ بها النّواةُ الإلكترونَ علماً أنّ المسافةَ بينَ الإلكترون والبروتون هي $a=\mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}\mathrm{m}$، ماذا تستنتجُ؟ علماً أنّ: شحنة الإلكترون $e=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}\mathrm{C}$، ثابِت الجذب الكهربائيّ $k=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}{\mathrm{C}}^{-2}$، ثابِت الجاذبيّة الكونيّ $G=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$، كتلة البروتون $m_p=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->7}}\mathrm{k}\mathrm{g}$، كتلة الإلكترون $m_e=\mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}\mathrm{k}\mathrm{g}$، سرعة انتشار الضّوء في الخلاء $c=3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$

   العلاقة

   قانون الجذب العامّ لنيوتن وقانون كولوم، على المسافة نفسها $a$:

   $$F_G=G{\displaystyle \frac{m_p{m}_e}{a^2}}{F}_E=k{\displaystyle \frac{e^2}{a^2}}$$

   التعويض

   مع $k=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^9\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}{\mathrm{C}}^{-2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle a^2=(\mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}{)}^2}\\ {\displaystyle a^2\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->1}}{\mathrm{m}}^2}\\ {\displaystyle m_p{m}_e\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{5<!--\; -->7}}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}\\ {\displaystyle F_G={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{5<!--\; -->7}}}{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->1}}}}}\\ {\displaystyle F_G\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{4<!--\; -->7}}\mathrm{N}}\\ {\displaystyle F_E={\displaystyle \frac{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^9\times (\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}{)}^2}{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{2<!--\; -->1}}}}}\\ {\displaystyle F_E\approx \mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-8}\mathrm{N}}\end{array}$$

   الجواب

   $${\displaystyle \frac{F_G}{F_E}}\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{4<!--\; -->0}}$$

   نستنتج أنّ قوّة التجاذب الكتليّ مهملةٌ تماماً أمام القوّة الكهربائيّة، فالقوّة الكهربائيّة وحدها تُبقي الإلكترون على مداره، ولذلك أهملنا الجذب الكتليّ في المسألة الأولى.

2. 2. ما قيمةُ الطّاقة في السّويّة الأساسيّة؟

   العلاقة

   السويّة الأساسيّة هي السويّة ذات الطاقة الأخفض، $n=1$:

   $$E_1=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->6}}{1^2}}$$

   الجواب

   $$E_1=-\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{e}\mathrm{V}\approx -\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->8}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->8}}\mathrm{J}$$

3. 3. ارسم مُخطّطاً لطاقةِ السَّويّات الخمس الأولى.

   العلاقة

   نعوّض $n=1,2,3,4,5$ في $E_n=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->6}}{n^2}}\mathrm{e}\mathrm{V}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle E_1=-\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{e}\mathrm{V}{E}_2=-\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{e}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle E_3\approx -\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->1}\mathrm{e}\mathrm{V}{E}_4=-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->5}\mathrm{e}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle E_5\approx -\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->4}\mathrm{e}\mathrm{V}}\end{array}$$

   الجواب

   نرسم كلّ سويّةٍ خطّاً أفقيّاً على ارتفاع طاقتها:

4. 4. تتواجَدُ الذَّرّة في البداية في حالتِها الأساسيّة، تمتصُّ هذه الذَّرّة فوتون بتواتُر $f=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->5}}\mathrm{H}\mathrm{z}$، احسُبِ الرَّقم $n$ للسّويّة التي تتواجدُ فيها الذَّرّة بعدَ الامتصاص.

   العلاقة

   يأخذ الإلكترون طاقة الفوتون كلّها، فترتفع طاقة الذرّة من $E_1$ إلى $E_n$:

   $$E_n=E_1+hf$$

   التعويض

   مع $h=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->4}}\mathrm{J}\mathrm{.}\mathrm{s}$ كما في المسألة الثانية:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle hf=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->4}}\times \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->5}}}\\ {\displaystyle hf\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->8}}\mathrm{J}\approx \mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}\mathrm{e}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle E_n=-\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->6}+\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6}\approx -\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->4}\mathrm{e}\mathrm{V}}\\ {\displaystyle n^2={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3<!--\; -->.<!--\; -->6}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->4}}}\approx \mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->8}}\end{array}$$

   الجواب

   $$n=3$$

   $n$ عددٌ صحيح، والفرق عن $9$ من تقريب الثوابت. وللتحقّق: $E_3-E_1=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9}\mathrm{e}\mathrm{V}$، قريبٌ من طاقة الفوتون.