المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب قوّة التّجاذُب الكهربائيّ بينَ البروتون والإلكترون.

   العلاقة

   قانون كولوم، بالقيمة المطلقة للشحنة، مع $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^9\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}{\mathrm{C}}^{-2}$:

   $$F_E=k{\displaystyle \frac{e^2}{r^2}}$$

   التعويض

   $$F_E={\displaystyle \frac{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^9\times (\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}{)}^2}{(\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->0}}{)}^2}}$$

   الجواب

   $$F_E\approx \mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-8}\mathrm{N}$$

2. 2. احسب سرعة دورانِ الإلكترون الخطّيّة على مدارِه السّابق، هل يجبُ أن نأخذَ في الاعتبار تغيُّر كتلةِ الإلكترون وفق النّظريّة النّسبيّة؟

   العلاقة

   على المدار الدائريّ تتساوى القوّة الكهربائيّة $F_E$ وقوّة العطالة النابذة $F_C=m_e{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$، كما في الكتاب، الصفحة 190:

   $$k{\displaystyle \frac{e^2}{r^2}}=m_e{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{k{e}^2}{m_{e}r}}}$$

   التعويض

   $$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^9\times (\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->9}}{)}^2}{\mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{3<!--\; -->1}}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->0}}}}}$$

   الجواب

   $$v\approx \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   ولا نأخذ تغيّر الكتلة في الاعتبار: ${\displaystyle \frac{v}{c}}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}{3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->7<!--\; -->3}$، أي أقلّ من واحدٍ بالمئة من سرعة الضوء، فالعلاقات الكلاسيكيّة صالحة.

3. 3. احسب تواتُر دورانِ الإلكترون.

   العلاقة

   في دورةٍ واحدة يقطع الإلكترون محيط المدار $2\pi r$ بسرعةٍ ثابتة:

   $$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{v}{2\pi r}}$$

   التعويض

   بالقيمة غير المقرّبة $v=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->8<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$f={\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->8<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}{2\pi \times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->0}}}}$$

   الجواب

   $$f\approx \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->5}}\mathrm{H}\mathrm{z}$$