المسألة 35 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب طول هذا المزمار.

   العلاقة

   المزمار مختلف الطرفين: فمه مفتوح ونهايته مغلقة، بطنٌ عند الفم وعقدةٌ عند النهاية المغلقة، فلا يصدر إلّا المدروجات الفرديّة، وطوله لمدروجٍ رتبته $2n-1$:

   $$L=(2n-1){\displaystyle \frac{v}{4f}}$$

   التعويض

   الصوت الأساسيّ $n=1$:

   $$L=1\times {\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->2<!--\; -->4}}{4\times \mathrm{1<!--\; -->6<!--\; -->2}}}$$

   الجواب

   $$L=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$$

   أي ربع طول الموجة، $\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->2<!--\; -->4}}{\mathrm{1<!--\; -->6<!--\; -->2}}}=2\mathrm{m}$.

2. 2. نستبدل بغاز الأكسجين في المزمار غاز الهدروجين في درجة الحرارة نفسها، احسب تواتر الصوت الأساسيّ الذي يصدره هذا المزمار في هذه الحالة.

   العلاقة

   الغازان ثنائيّا الذرّة، وفي درجة الحرارة نفسها تتناسب سرعتا الصوت فيهما عكساً مع الجذر التربيعيّ لكتلتيهما الموليّتين:

   $${\displaystyle \frac{v_{{\text{H}}_2}}{v_{{\text{O}}_2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_{{\text{O}}_2}}{M_{{\text{H}}_2}}}}$$

   التعويض

   مع $M_{{\text{O}}_2}=2\times \mathrm{1<!--\; -->6}=\mathrm{3<!--\; -->2}\mathrm{g}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$ و$M_{{\text{H}}_2}=2\times 1=2\mathrm{g}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{v_{{\text{H}}_2}}{\mathrm{3<!--\; -->2<!--\; -->4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->2}}{2}}}=4}\\ {\displaystyle v_{{\text{H}}_2}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->9<!--\; -->6}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   العلاقة

   طول المزمار لا يتغيّر ونوع طرفيه لا يتغيّر، والتواتر الأساسيّ الجديد:

   $$f^{\mathrm{\prime }}=(2n-1){\displaystyle \frac{v_{{\text{H}}_2}}{4L}}$$

   التعويض

   $$f^{\mathrm{\prime }}=1\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->9<!--\; -->6}}{4\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}}}$$

   الجواب

   $$f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{6<!--\; -->4<!--\; -->8}\mathrm{H}\mathrm{z}$$

   السرعة في الهيدروجين أربعة أضعاف ما كانت في الأكسجين والطول ثابت، فالتواتر أربعة أضعاف ما كان: $4\times \mathrm{1<!--\; -->6<!--\; -->2}=\mathrm{6<!--\; -->4<!--\; -->8}$.