المسألة 33 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب عدد أطوال الموجة التي يحويها المزمار.

   العلاقة

   طول الموجة من السرعة والتواتر، وعدد أطوال الموجة في المزمار نسبة طوله إلى طول الموجة:

   $$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}}}\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->3<!--\; -->2}\mathrm{m}}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{L}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->2}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}}{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}}\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->9<!--\; -->9}}\end{array}$$

   الجواب

   $${\displaystyle \frac{L}{\lambda }}=\mathrm{1<!--\; -->0}$$

   عشرة أطوال موجة. والفرق الصغير عن العدد الصحيح من تقريب المعطيات، فالمزمار لا يتجاوب مع منبعه إلّا إذا كان طوله عدداً صحيحاً من أنصاف طول الموجة.

2. 2. نريد أن يحوي المزمار نصف عدد أطوال الموجة السابقة وهو يصدر الصوت السابق نفسه بتغيير درجة حرارة هوائه فقط لتصبح $t^{\mathrm{\prime }}$، احسب قيمة $t^{\mathrm{\prime }}$.

   العلاقة

   طول المزمار ثابت، فإذا احتوى خمسة أطوال موجة بدل عشرة صار طول الموجة ضعف ما كان. والصوت نفسه، أي التواتر نفسه، و$v=\lambda f$، فتصير السرعة ضعف ما كانت:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{L}{5}}=2\lambda }\\ {\displaystyle v^{\mathrm{\prime }}={\lambda }^{\mathrm{\prime }}f=2v}\end{array}$$

   العلاقة

   في الغاز نفسه تتناسب سرعة انتشار الصوت طرداً مع الجذر التربيعيّ لدرجة حرارته المطلقة $T$ بالكلفن:

   $${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}}T=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+t$$

   التعويض

   $v_1=v$ بالدرجة $T_1=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+\mathrm{1<!--\; -->5}=\mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8}\mathrm{K}$، و$v_2=v^{\mathrm{\prime }}=2v$ بالدرجة $T_2=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+t^{\mathrm{\prime }}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8}}{T_2}}}}\\ {\displaystyle T_2=4\times \mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8}=\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->5<!--\; -->2}\mathrm{K}}\end{array}$$

   الجواب

   $$t^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->5<!--\; -->2}-\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}=\mathrm{8<!--\; -->7<!--\; -->9}{}^{\circ }\mathrm{C}$$

   تضاعفت السرعة فصارت درجة الحرارة المطلقة أربعة أمثالها، لا الدرجة المئويّة: $4\times \mathrm{1<!--\; -->5}=\mathrm{6<!--\; -->0}{}^{\circ }\mathrm{C}$ خطأ.

3. 3. إذا تكوّن في طرفي المزمار بطنان للاهتزاز وعقدة واحدة فقط في منتصفه بدرجة الحرارة $t=\mathrm{1<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$ بتغيير قوَّة النفخ عند منبعه الصوتيّ. احسب تواتر الصوت الصادر عنه حينئذٍ.

   العلاقة

   بطنان عند الطرفين وعقدة واحدة بينهما: المزمار يحوي نصف طول موجة، فهو يصدر صوته الأساسيّ $n=1$. وتواتر المدروج الذي رتبته $n$ في المزمار متشابه الطرفين:

   $$f^{\mathrm{\prime }}=n{\displaystyle \frac{v}{2L}}$$

   التعويض

   الدرجة $\mathrm{1<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$ نفسها، فالسرعة $v=\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}=1\times {\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{2\times \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->2}}}$$

   الجواب

   $$f^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{5<!--\; -->1<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{H}\mathrm{z}$$

   وللتحقّق: في الطلب الأوّل كان المزمار يحوي عشرة أطوال موجة، أي عشرين نصف طول موجة، فالصوت هو المدروج العشرون، وتواتر الصوت الأساسيّ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}}{\mathrm{2<!--\; -->0}}}=\mathrm{5<!--\; -->1<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{H}\mathrm{z}$.