المسألة 32 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. طول موجة الصوت البسيط الصادر عن المزمار.

   العلاقة

   العقدتان داخل المزمار متتاليتان، والبعد بين عقدتين متتاليتين نصف طول الموجة:

   $${\displaystyle \frac{\lambda }{2}}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$$

   الجواب

   $$\lambda =1\mathrm{m}$$

2. 2. طول المزمار.

   العلاقة

   المزمار ذو فم ونهايته مفتوحة، فهو متشابه الطرفين: بطنٌ عند كلّ طرف، وطوله عددٌ صحيح $n$ من نصف طول الموجة، و$n$ عدد العقد فيه:

   $$L=n{\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$$

   التعويض

   في المزمار عقدتان، فـ $n=2$:

   $$L=2\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}$$

   الجواب

   $$L=1\mathrm{m}$$

   أي أنّ المزمار يحوي طول موجةٍ واحداً، وهو يصدر المدروج الثاني.

3. 3. تواتر الصوت البسيط الصادر عن المزمار.

   العلاقة

   نحتاج أوّلاً سرعة الصوت في الهواء بالدرجة $\mathrm{1<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$. تتناسب سرعة انتشار الصوت في غازٍ معيّن طرداً مع الجذر التربيعيّ لدرجة حرارته المطلقة $T$ بالكلفن:

   $${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}}T=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+t$$

   التعويض

   $T_1=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}\mathrm{K}$ و$v_1=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->1}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، و$T_2=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+\mathrm{1<!--\; -->5}=\mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8}\mathrm{K}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->1}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8}}{\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}}}}}\\ {\displaystyle v_2\approx \mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   العلاقة

   تواتر المدروج الذي رتبته $n$ في المزمار متشابه الطرفين:

   $$f=n{\displaystyle \frac{v_2}{2L}}$$

   التعويض

   مع $n=2$ و$L=1\mathrm{m}$:

   $$f=2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{2\times 1}}$$

   الجواب

   $$f=\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$$

   وهو ${\displaystyle \frac{v_2}{\lambda }}$ أيضاً. وبالسرعة غير المقرّبة $\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->9<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->7}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ يخرج $\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->9<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->7}\mathrm{H}\mathrm{z}$، أي $\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$ بثلاثة أرقام.

4. 4. طول مزمار آخر ذي فم نهايته مغلقة يعطي في الدرجة $t=\mathrm{1<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$ صوتاً أساسيّاً مواقتاً للصوت الصادر عن المزمار السابق.

   العلاقة

   المزمار الآخر ذو فم ونهايته مغلقة، فهو مختلف الطرفين: بطنٌ عند الفم وعقدةٌ عند النهاية المغلقة، ولا يصدر إلّا المدروجات الفرديّة:

   $$L^{\mathrm{\prime }}=(2n-1){\displaystyle \frac{v_2}{4f}}$$

   التعويض

   صوته الأساسيّ $n=1$ مواقتٌ للصوت السابق، أي له التواتر نفسه $f=\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$؛ والهواء في الدرجة نفسها، فسرعة الصوت نفسها $v_2=\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$L^{\mathrm{\prime }}=(2\times 1-1){\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{4\times \mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$L^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}$$

   أي ربع طول الموجة ${\displaystyle \frac{\lambda }{4}}$، وهذا لا يتعلّق بتقريب السرعة.