المسألة 31 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب عدد أطوال الموجة التي يحويها المزمار.

   العلاقة

   طول الموجة من السرعة والتواتر:

   $$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}$$

   التعويض

   $$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->4}\mathrm{m}$$

   العلاقة

   عدد أطوال الموجة في المزمار نسبة طوله إلى طول الموجة:

   $${\displaystyle \frac{L}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->4}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->4}}}$$

   الجواب

   $${\displaystyle \frac{L}{\lambda }}=\mathrm{1<!--\; -->0}$$

   عشرة أطوال موجة، أي عشرون نصف طول موجة، $L=\mathrm{2<!--\; -->0}\frac{\lambda }{2}$: الصوت الصادر هو المدروج العشرون.

2. 2. إذا تكوّنت داخله عقدة واحدة فقط في منتصف المزمار في الدرجة نفسها من الحرارة، فاحسب تواتر الصوت البسيط عندئذ.

   العلاقة

   المزمار متشابه الطرفين، بطنٌ عند كلّ طرف. فإذا لم يتكوّن داخله إلّا عقدةٌ واحدة في منتصفه، كان طوله نصف طول موجة، وعقدته في المنتصف: هذا الصوت الأساسيّ. والسرعة نفسها لأنّ درجة الحرارة نفسها:

   $$L={\displaystyle \frac{{\lambda }_1}{2}}{f}_1={\displaystyle \frac{v}{2L}}$$

   التعويض

   $$f_1={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{2\times \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->4}}}$$

   الجواب

   $$f_1=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$$

   والتواتر $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$ في نصّ المسألة عشرون ضعفاً له.

3. 3. إذا كانت سرعة انتشار الصوت في الهواء $v=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->1}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ في الدرجة $0{}^{\circ }\mathrm{C}$، فاحسب درجة حرارة التجربة.

   العلاقة

   في الغاز نفسه تتناسب سرعة انتشار الصوت طرداً مع الجذر التربيعيّ لدرجة حرارته المطلقة، و$T=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+t$ بالكلفن:

   $${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}}$$

   التعويض

   في درجة حرارة التجربة $T_1$ السرعة $v_1=\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، وفي $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ السرعة $v_2=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->1}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ و$T_2=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}\mathrm{K}$. نربّع الطرفين:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_1=T_2{\left({\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}\right)}^2}\\ {\displaystyle T_1=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}\times {\left({\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0}}{\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->1}}}\right)}^2}\\ {\displaystyle T_1\approx \mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8}\mathrm{K}}\end{array}$$

   الجواب

   $$t_1=T_1-\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}\approx \mathrm{1<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$$

   الحساب الدقيق يعطي $T_1\approx \mathrm{2<!--\; -->8<!--\; -->8<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}\mathrm{K}$، أي $\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$، فالقيمة $\mathrm{1<!--\; -->5}{}^{\circ }\mathrm{C}$ مقرّبةٌ إلى أقرب درجة.