المسألة 30 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. طول موجة الاهتزاز.

   العلاقة

   الوتر في حالة تجاوب، فيحوي عدداً صحيحاً $n$ من المغازل، طول كلٍّ منها $\frac{\lambda }{2}$:

   $$L=n{\displaystyle \frac{\lambda }{2}}\lambda ={\displaystyle \frac{2L}{n}}$$

   التعويض

   ثلاثة مغازل، $n=3$:

   $$\lambda ={\displaystyle \frac{2\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}}{3}}$$

   الجواب

   $$\lambda =1\mathrm{m}$$

2. 2. الكتلة الخطِّيَّة للوتر.

   العلاقة

   الكتلة الخطيّة كتلة وحدة الطول من الوتر:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{m}{L}}$$

   التعويض

   مع $m=\mathrm{1<!--\; -->5}\mathrm{g}=\mathrm{1<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}}}$$

   الجواب

   $$\mu ={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

3. 3. سرعة انتشار الاهتزاز في الوتر.

   العلاقة

   من طول الموجة وتواتر الهزّازة:

   $$v=\lambda f$$

   التعويض

   $$v=1\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}$$

   الجواب

   $$v=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. 4. مقدار قوّة الشدّ المطبقة على الوتر.

   العلاقة

   سرعة انتشار الاهتزاز في وترٍ مشدود:

   $$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}{F}_T=\mu v^2$$

   التعويض

   $$F_T={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times {\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}^2$$

   الجواب

   $$F_T=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{N}$$

   وللتحقّق من قانون الأوتار: $\frac{3}{2\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}}\sqrt{\frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}}}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$، تواتر الهزّازة.

5. 5. بعد أماكن عقد وبطون الاهتزاز عن نهايته المقيَّدة.

   العلاقة

   النهاية المقيّدة عقدة، والعقد على أعدادٍ صحيحةٍ من نصف طول الموجة عنها، والبطون على أعدادٍ فرديّةٍ من ربعه، حيث $k=0,1,2,\dots$ و$\bar{x}\le L$:

   $${\bar{x}}_N=k{\displaystyle \frac{\lambda }{2}}{\bar{x}}_A=(2k+1){\displaystyle \frac{\lambda }{4}}$$

   الجواب

   مع $\frac{\lambda }{2}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$ و$\frac{\lambda }{4}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{x}}_N=0,\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5},1,\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}}\\ {\displaystyle {\bar{x}}_A=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5},\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->5},\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}}\end{array}$$

   أربع عقد وثلاثة بطون لثلاثة مغازل، والعقدة الأخيرة الطرف الآخر من الوتر.