المسألة 29 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. ما عدد المغازل المتكوِّنة على طول الخيط؟

   العلاقة

   الخيط في حالة تجاوب، وطرفاه عقدتان، فيحوي عدداً صحيحاً $n$ من المغازل، طول كلٍّ منها $\frac{\lambda }{2}$:

   $$L=n{\displaystyle \frac{\lambda }{2}}n={\displaystyle \frac{2L}{\lambda }}$$

   التعويض

   مع $\lambda =\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}$:

   $$n={\displaystyle \frac{2\times 1}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}}$$

   الجواب

   $$n=5$$

   خمسة مغازل.

2. 2. احسب السعة بنقطة تبعد $\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ ثمَّ بنقطة تبعد $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ عن النهاية المقيَّدة للخيط إذا كانت سعة اهتزاز المنبع $Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=1\mathrm{c}\mathrm{m}$.

   العلاقة

   سعة اهتزاز نقطةٍ على بعد $\bar{x}$ من النهاية المقيّدة:

   $$Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=2Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\mid \sin {\displaystyle \frac{2\pi \bar{x}}{\lambda }}\mid$$

   التعويض

   النقطة الأولى، $\bar{x}=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$، و$\lambda =\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$، والسعة بالسنتيمتر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=2\times 1\times \mid \sin {\displaystyle \frac{2\pi \times \mathrm{2<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}\mid }\\ {\displaystyle Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=2\mid \sin \pi \mid }\end{array}$$

   الجواب

   $$Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=0$$

   النقطة على بعد $\frac{\lambda }{2}$ من النهاية المقيّدة، فهي عقدة اهتزاز لا تهتزّ.

   التعويض

   النقطة الثانية، $\bar{x}=\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=2\times 1\times \mid \sin {\displaystyle \frac{2\pi \times \mathrm{3<!--\; -->0}}{\mathrm{4<!--\; -->0}}}\mid }\\ {\displaystyle Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=2\mid \sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\mid =2\times 1}\end{array}$$

   الجواب

   $$Y_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}\mathrm{/}n}=2\mathrm{c}\mathrm{m}$$

   النقطة على بعد $\frac{3\lambda }{4}$، فهي بطن اهتزاز، سعتها ضعف سعة المنبع.

3. 3. احسب الكتلة الخطِّيَّة للخيط، واحسب قوَّة شدِّ هذا الخيط، وسرعة انتشار الاهتزاز فيه.

   العلاقة

   الكتلة الخطيّة كتلة وحدة الطول من الخيط المتجانس:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{m}{L}}$$

   التعويض

   مع $m=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{g}=\mathrm{1<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}}{1}}$$

   الجواب

   $$\mu ={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

   العلاقة

   نحسب السرعة أوّلاً، فمنها نجد قوّة الشدّ. سرعة الانتشار من طول الموجة وتواتر الرنّانة:

   $$v=\lambda f$$

   التعويض

   $$v=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \mathrm{5<!--\; -->0}$$

   الجواب

   $$v=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقة

   سرعة انتشار الاهتزاز في وترٍ مشدود:

   $$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}{F}_T=\mu v^2$$

   التعويض

   $$F_T={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times {\mathrm{2<!--\; -->0}}^2$$

   الجواب

   $$F_T=4\mathrm{N}$$

4. 4. احسب قوَّة شدِّ الخيط التي تجعله يهتزُّ بمغزلين، وحدّد أبعاد العقد والبطون عن النهاية المقيَّدة في هذه الحالة.

   العلاقة

   الرنّانة نفسها، فالتواتر $f=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$ لا يتغيّر، والخيط نفسه، فالكتلة الخطيّة لا تتغيّر. مغزلان، $n=2$:

   $$L=2{\displaystyle \frac{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}{2}}{\lambda }^{\mathrm{\prime }}=L=1\mathrm{m}$$

   التعويض

   سرعة الانتشار الجديدة:

   $$v^{\mathrm{\prime }}={\lambda }^{\mathrm{\prime }}f=1\times \mathrm{5<!--\; -->0}=\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   العلاقة

   ومنها قوّة الشدّ:

   $$F_T^{\mathrm{\prime }}=\mu v^{\mathrm{\prime }2}$$

   التعويض

   $$F_T^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\times {\mathrm{5<!--\; -->0}}^2$$

   الجواب

   $$F_T^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{N}$$

   مغازل أقلّ تعني طول موجةٍ أكبر وسرعةً أكبر، فقوّة شدٍّ أكبر: صارت السرعة $\frac{5}{2}$ أمثال ما كانت، فصارت القوّة ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{\mathrm{2<!--\; -->5}}{4}$ أمثال ما كانت.

   العلاقة

   النهاية المقيّدة عقدة، والعقد على أعدادٍ صحيحةٍ من نصف طول الموجة عنها، والبطون على أعدادٍ فرديّةٍ من ربعه، حيث $k=0,1,2,\dots$ و$\bar{x}\le L$:

   $${\bar{x}}_N=k{\displaystyle \frac{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}{2}}{\bar{x}}_A=(2k+1){\displaystyle \frac{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}{4}}$$

   الجواب

   مع $\frac{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}{2}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$ و$\frac{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}{4}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{x}}_N=0,\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5},1\mathrm{m}}\\ {\displaystyle {\bar{x}}_A=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5},\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->5}\mathrm{m}}\end{array}$$

   ثلاث عقد وبطنان، والعقدة الأخيرة الطرف الآخر من الخيط.

5. 5. نجعل طول الوتر نصف ما كان عليه. هل تتغيّر كتلته الخطِّيّة باعتبار أنّه متجانس.

   العلاقة

   الخيط متجانس، فكتلة نصفه نصف كتلته:

   $${\mu }^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\frac{m}{2}}{\frac{L}{2}}}={\displaystyle \frac{m}{L}}$$

   الجواب

   $${\mu }^{\mathrm{\prime }}=\mu ={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

   لا تتغيّر. الكتلة الخطيّة صفةٌ لمادّة الخيط ومقطعه، $\mu =\rho \pi r^2$، لا لطوله.