المسألة 28 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب البُعد بين بطنين متتاليين، ثمَّ استنتج رتبة الصوت.

   العلاقة

   طول الموجة من السرعة والتواتر:

   $$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}$$

   التعويض

   $$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->0}}}=3\mathrm{m}$$

   العلاقة

   البُعد بين بطنين متتاليين نصف طول الموجة:

   $${\displaystyle \frac{\lambda }{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   الجواب

   $${\displaystyle \frac{\lambda }{2}}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$$

   العلاقة

   المزمار ذو فمٍ ونهايةٍ مفتوحة متشابه الطرفين، بطنٌ عند كلّ طرف، فطوله عددٌ صحيح $n$ من نصف طول الموجة، و$n$ رتبة الصوت:

   $$L=n{\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$$

   التعويض

   $$3=n\times \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}$$

   الجواب

   $$n=2$$

   فالصوت الصادر هو المدروج الثاني، تواتره ضعف تواتر الصوت الأساسيّ $\frac{v}{2L}=\mathrm{5<!--\; -->5}\mathrm{H}\mathrm{z}$.

2. 2. نسخّن المزمار إلى الدرجة $t=\mathrm{8<!--\; -->1<!--\; -->9}{}^{\circ }\mathrm{C}$، استنتج طول الموجة المتكوّنة ليصدر المزمار الصوت السابق نفسه.

   العلاقة

   في الغاز نفسه تتناسب سرعة انتشار الصوت طرداً مع الجذر التربيعيّ لدرجة حرارته المطلقة، و$T=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+t$ بالكلفن:

   $${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}}$$

   التعويض

   قبل التسخين $v_1=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ في $0{}^{\circ }\mathrm{C}$، وبعده:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_1=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+0=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}\mathrm{K}}\\ {\displaystyle T_2=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}+\mathrm{8<!--\; -->1<!--\; -->9}=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->2}\mathrm{K}}\end{array}$$

   التعويض

   و$\frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->2}}{\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}}=4$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->2}}{\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->3}}}}=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}\times 2}\\ {\displaystyle v_2=\mathrm{6<!--\; -->6<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   العلاقة

   يصدر المزمار الصوت السابق نفسه، أي بالتواتر نفسه $f=\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$:

   $${\lambda }_2={\displaystyle \frac{v_2}{f}}$$

   التعويض

   $${\lambda }_2={\displaystyle \frac{\mathrm{6<!--\; -->6<!--\; -->0}}{\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $${\lambda }_2=6\mathrm{m}$$

   وطول المزمار $3\mathrm{m}$ نصف هذا الطول، $L=\frac{{\lambda }_2}{2}$، فالصوت الذي تواتره $\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$ صار الصوت الأساسيّ للمزمار بعد تسخينه.

3. 3. احسب طول مزمار آخر ذي فم، نهايتُه مغلقة يحوي الهواء في الدرجة $0{}^{\circ }\mathrm{C}$، تواتر مدروجه الثالث يساوي تواتر الصوت الصادر عن المزمار السابق (في الدرجة $0{}^{\circ }\mathrm{C}$).

   العلاقة

   المزمار ذو الفم والنهاية المغلقة مختلف الطرفين، بطنٌ عند الفم وعقدةٌ عند النهاية المغلقة، ولا يصدر إلّا المدروجات الفرديّة، $f=(2n-1)\frac{v}{4L^{\mathrm{\prime }}}$. المدروج الثالث $n=2$:

   $$f_3=3{\displaystyle \frac{v}{4L^{\mathrm{\prime }}}}{L}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3v}{4f_3}}$$

   التعويض

   الهواء في $0{}^{\circ }\mathrm{C}$، فـ $v=\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، و$f_3=\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$ تواتر صوت المزمار الأوّل:

   $$L^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3\times \mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}}{4\times \mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->0}}}$$

   الجواب

   $$L^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{m}$$

   وتواتر صوته الأساسيّ ثلث هذا التواتر، $\frac{\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->0}}{4\times \mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->5}}\approx \mathrm{3<!--\; -->6<!--\; -->.<!--\; -->7}\mathrm{H}\mathrm{z}$.