المسألة السابعة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. يُشَدُّ الخيطُ بقوَّةٍ شدتُها $F_T=\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{N}$ فيهتزُّ مُكوِّناً مغزلاً واحداً. استنتجْ كتلةَ الخيط؟

   العلاقة

   على الخيط $n$ مغزلاً: $L=n{\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$، و$v=\lambda f$، و$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}$:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{F_T}{v^2}}m=\mu L$$

   التعويض

   مغزلٌ واحد: $\lambda =2L=4\mathrm{m}$، فـ $v=4\times \mathrm{3<!--\; -->0}=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\mu ={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}}{{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}}^2}}=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$$

   الجواب

   $$m=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\times 2={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}=1\mathrm{g}$$

2. 2. احسب قوَّتَي الشّدّ التي تجعلُ الخيطَ يهتزُّ بمِغزلَين ثمَّ بثلاثةِ مغازلَ معَ الرّنّانة نفسِها؟

   العلاقة

   التواتر والكتلة الخطيّة لا يتغيّران، و$\lambda ={\displaystyle \frac{2L}{n}}$:

   $$F_T=\mu v^2=\mu {\left({\displaystyle \frac{2Lf}{n}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}}{n^2}}\mathrm{N}$$

   التعويض

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle n=2:v=\mathrm{6<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle n=3:v=\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\end{array}$$

   الجواب

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle F_{T2}={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}}{4}}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->8}\mathrm{N}}\\ {\displaystyle F_{T3}={\displaystyle \frac{\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->2}}{9}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\mathrm{N}}\end{array}$$

   كلّما زاد عدد المغازل صغرت قوّة الشدّ، لأنّ الموجة تقصر وسرعتها تقلّ.