الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

تقاطع ثلاثة مستويات

ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، وعدد حلولها هو شكل التقاطع

المستقيمات والمستويات في الفراغ . الوحدة 3 . الدرس 4

بسيطة

مستويان مختلفان إمّا أن يتوازيا فلا يلتقيا، وإمّا أن يتقاطعا في مستقيم، وقد رأيتَ ذلك في الدرس السابق. فأضِف الآن مستوياً ثالثاً وأعِد السؤال. إن كان الأوّلان متوازيين فقد انتهى الأمر قبل أن يبدأ. وإن تقاطعا في مستقيم، فالسؤال كلّه صار سؤال الدرس السابق مرّةً أخرى: مستقيمٌ ومستوٍ. هذا هو الدرس بالهندسة، وهو خطوتان لا أكثر. وبالجبر هو جملة ثلاث معادلات خطّيّة بثلاثة مجاهيل، وعدد حلولها يقول لك أيّ الحالات أنت فيها. والفائدة في النظر إلى الجهتين معاً: الهندسة تنبّئك بعدد الحلول قبل أن تحسب، والحساب يعطيك الإحداثيّات.

تقاطع ثلاثة مستويات

كلّ ما يأتي يجري في جملة متجانسة $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ، يضعها الكتاب في سطرٍ واحد تحت العنوان، ويسمّيها في تدريبات الدرس نفسه «معلماً متجانساً». والاسمان لشيءٍ واحد. وليس في هذا الدرس مبرهنةٌ ولا نتيجةٌ ولا برهان، وهذا غير معتاد في هذا الكتاب: لحمه كلّه نصٌّ جارٍ، وصندوق صور، وجدول.

ابدأ بالملاحظة التي يبدأ بها الكتاب. إذا انطبق اثنان من المستويات الثلاثة فالمسألة ليست جديدة، إنّها تقاطع مستويين وقد دُرست في الفقرة السابقة. ولهذا يفترض الكتاب فيما يأتي أنّ المستويات الثلاثة مختلفة مثنى مثنى. ثمّ تأتي الفكرة في خطوتين: عيّن $P_{1} \cap P_{2}$ أوّلاً، ثمّ اقطع ما خرج بـ $P_{3}$ . وإذا كان ما خرج مستقيماً فأنت في الدرس السابق بعينه.

1.4. تقاطع ثلاثة مستويات

$P_{1} \neq P_{2}, P_{2} \neq P_{3}, P_{1} \neq P_{3}$ هذا هو معنى «مختلفة مثنى مثنى»: لا اثنين منها منطبقان. وهو فرضٌ يضعه الكتاب لبناء هذه الفقرة، لا خاصّةٌ للمستويات، لأنّ حالة الانطباق تعود إلى الفقرة السابقة.
$P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = (P_{1} \cap P_{2}) \cap P_{3}$ الخطوتان. عيّن تقاطع الأوّلين، ثمّ اقطعه بالثالث. وما دامت المستويات مختلفة مثنى مثنى فليس لـ $P_{1} \cap P_{2}$ إلّا حالتان: مستقيمٌ أو مجموعة خالية.

الكتاب، الصفحة 77

ويعرض الكتاب الحالات في صندوقٍ واحد، ثلاثة عناوين وخمس صور. العنوان الأوّل «لا توجد نقاط مشتركة»، وتحته ثلاث صور، لأنّ انعدام النقطة المشتركة يحدث بثلاث طرقٍ مختلفة.

من الحالة الأولى، لا توجد نقاط مشتركة: كلّ مستويين من الثلاثة يتقاطعان في مستقيم، والمستقيمات الثلاثة متوازية، فتحيط المستويات بمنشورٍ ولا تشترك في نقطة. وكلّ مستوٍ منها يوازي الفصل المشترك للآخرين.

ومنها أيضاً:

P_{1}

P_{2}

متوازيان ومختلفان، والثالث يقطعهما في مستقيمين متوازيين. ولا حاجة إلى النظر في الثالث أصلاً: الأوّلان لا نقطة مشتركة لهما، فالتقاطع الثلاثيّ خالٍ. والمثال الأوّل في الفقرة التالية يقع في هذه الحالة نفسها، وإن كان المستويان المتوازيان فيه هما

P_{1}

P_{3}

وآخر صور الحالة الأولى: المستويات الثلاثة متوازية ومختلفة مثنى مثنى، فلا نقطة مشتركة لأيّ اثنين منها، ولا للثلاثة.

والعنوان الثاني «يوجد مستقيم مشترك»، وتحته صورةٌ واحدة: ثلاثة مستويات تمرّ كلّها بمستقيمٍ واحد، مثل ثلاث صفحاتٍ في كتابٍ مفتوح تشترك في الكعب.

الحالة الثانية، يوجد مستقيم مشترك: المستويات الثلاثة تمرّ كلّها بالمستقيم

Δ

، فالتقاطع الثلاثيّ هو

Δ

نفسه، وللجملة عددٌ لا نهائيّ من الحلول تمثّلها نقاطه.

والعنوان الثالث «توجد نقطة وحيدة مشتركة»، وتحته صورةٌ واحدة أيضاً: هي زاوية غرفة، ثلاثة مستويات تلتقي في نقطةٍ واحدة.

الحالة الثالثة، توجد نقطة وحيدة مشتركة:

P_{1}

P_{2}

يتقاطعان في

Δ

، و

P_{3}

يقطع

Δ

في النقطة

I

. والمستقيمان الآخران المرسومان في

P_{3}

هما فصلاه المشتركان مع الآخرين، وهما يلتقيان في

I

أيضاً. وهذه أسماء الكتاب نفسها في هذه الصورة.

انتبه: والرمز $Δ$ يظهر في صورتَي الحالتين الثانية والثالثة، وليس هو هو. في «يوجد مستقيم مشترك» هو تقاطع المستويات الثلاثة كلّها. وفي «توجد نقطة وحيدة مشتركة» هو تقاطع مستويين فقط، والمستوي الثالث يقلّصه إلى النقطة $I$ . الرمز واحدٌ والمعنى مختلف، وهذا الفرق هو كلّ الفرق بين الحالتين.

تذكّر: ولذلك فالدرس كلّه خطوتان. عيّن $P_{1} \cap P_{2}$ أوّلاً. فإن خرج خالياً فالتقاطع الثلاثيّ خالٍ، وانتهى الأمر بلا نظرٍ في $P_{3}$ . وإن خرج مستقيماً فأنت أمام مستقيمٍ ومستوٍ، وحالاته الثلاث معروفة من الدرس السابق: يقطعه في نقطة، أو يوازيه فلا يلقاه، أو يحويه فيبقى المستقيم كلّه مشتركاً.

$P_{1} \cap P_{2}$ مستقيمٌ $Δ$ ، والمستوي $P_{3}$ يوازي $Δ$ ولا يحويه. ما هو $P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}$ ؟

كيف أبدأ؟ التقاطع الثلاثيّ هو تقاطع $Δ$ مع $P_{3}$ لا أكثر. فارجع إلى الحالات الثلاث لمستقيمٍ ومستوٍ، وانظر في أيّها أنت.

أ)النقطة التي يقطع فيها $P_{3}$ المستقيم $Δ$
ب)المستقيم $Δ$ كلّه
ج)مجموعة خالية

ج. نعم. $P_{3}$ يوازي $Δ$ ولا يحويه، فلا نقطة مشتركة بينهما، فلا نقطة مشتركة بين المستويات الثلاثة. وهذه إحدى صور الحالة الأولى، والفرضيّة لا تعيّن أيّها: إن قطع $P_{3}$ المستويين الآخرين فهي صورة المنشور، وإن وازى أحدهما فهي الصورة الثانية. والجواب واحدٌ في الحالتين.

الترجمة الجبريّة للمسألة

لكلّ مستوٍ معادلةٌ ديكارتيّة، ولثلاثة مستويات ثلاث معادلات. ونقطةٌ تنتمي إلى الثلاثة معاً هي بالضبط ثلاثيّةٌ $(x, y, z)$ تحقّق المعادلات الثلاث في وقتٍ واحد. فالسؤال الهندسيّ صار سؤالاً واحداً في الجبر: حُلّ جملة ثلاث معادلات خطّيّة بثلاثة مجاهيل.

2.4. الترجمة الجبريّة للمسألة

$P_{i} : a_{i} x + b_{i} y + c_{i} z + d_{i} = 0$ كلّ مستوٍ بمعادلته الديكارتيّة، والمعاملات تحمل دليل مستويها. والكتاب لا يكتب هنا شرطاً على المعاملات، لكنّه لازمٌ من معنى المعادلة: لكي تمثّل مستوياً يجب أن يكون $(a_{i}, b_{i}, c_{i}) \neq (0, 0, 0)$ .
${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z + d_{3} = 0 \end{cases}$ ونقطةٌ تنتمي إلى الثلاثة معاً هي بالضبط ثلاثيّةٌ تحقّق السطور الثلاثة معاً. فدراسة التقاطع تؤول إلى حلّ هذه الجملة، ويسمّيها الكتاب $(S)$ ، وإحداثيّات نقاط التقاطع هي حلولها لا شيء آخر.

الكتاب، الصفحة 77

نلخّص فيما يأتي الحالات المختلفة

$P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \emptyset$ لا توجد نقاط مشتركة، ومجموعة حلول $(S)$ خالية. والكتاب يكتب هذه الحالة بالكلمة، «خالية»، ولا يستخدم الرمز في هذه الصفحات.
$P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = {I}$ نقطة مشتركة واحدة $I$ ، وللجملة حلٌّ وحيد $(x, y, z)$ ، وهو يمثّل إحداثيّات $I$ .
$P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = Δ$ مستقيمٌ $Δ$ ، ويقول الجدول صراحةً إنّه معرَّفٌ باثنتين من المعادلات الثلاث، وحلول الجملة هي كلّ الثلاثيات التي تحقّق تلك المعادلتين.
$P_{1} = P_{2} = P_{3}$ المستويات الثلاثة مستوٍ واحد، والتقاطع هو ذلك المستوي، وحلول الجملة هي كلّ الثلاثيات التي تحقّق إحدى المعادلات.

الكتاب، الصفحة 78

انتبه: والكتاب يعرض الحالات مرّتين وبترتيبين مختلفين، وهنا مصيدة. صندوق الصور صفحة 77 يرتّبها: لا نقاط مشتركة، ثمّ مستقيم مشترك، ثمّ نقطة وحيدة. والجدول صفحة 78 يرتّبها: لا نقاط مشتركة، ثمّ نقطة، ثمّ مستقيم، ثمّ مستوٍ. فالثانية في الصندوق هي الثالثة في الجدول والعكس. ومن قرأ الجدول بوصفه تسميةً لصور الصندوق بحسب الموضع نسب كلّ حالةٍ إلى غيرها. اقرأ النصّ، ولا تعتمد على الترتيب.

انتبه: وفي الجدول سطرٌ رابع لا صورة له في الصندوق: $P_{1} = P_{2} = P_{3}$ . وهو يناقض فرض الفقرة السابقة نفسها، «مختلفة مثنى مثنى»، والكتاب لا يقول إنّه رفع الفرض. والتوفيق بينهما بسيط: الفرض شرطٌ لبناء الفقرة الأولى وترتيب صورها، والجدول يصنّف كلّ الحالات بلا فرض. وعمليّاً هذا يعني خطوةً أولى في كلّ مسألة: انظر أوّلاً هل معادلتان من الثلاث تصفان المستوي نفسه.

ويضع الكتاب هنا سؤالاً تحت عنوان «تكريساً للفهم»: هل يفيد التفسير الهندسيّ في حلّ بعض جمل المعادلات؟ وجوابه نعم، فهو يتيح معرفةً سابقةً بعدد حلول الجملة، وذلك يجعل التحقّق من صحّة الحلّ الجبريّ يسيراً. والمثال الأوّل الآتي هو الدليل: ينتهي قبل أن يبدأ الحذف، لأنّ الأشعّة الناظمة دلّت على الطريق ثمّ حسمته مقارنةُ حدٍّ ثابتٍ واحد.

تذكّر: وهذا هو الخطأ الوحيد الذي يسمّيه الكتاب بنفسه في هذه الوحدة، في كتلة «أخطاء يجب تجنّبها» التي تختم الدرس في صفحة 80، وبنصّه: المعادلة $a x + b y + c z + d = 0$ ليست معادلة مستقيم في الفراغ بل هي معادلة مستو فيه. معادلةٌ خطّيّةٌ واحدةٌ بثلاثة مجاهيل تصف مستوياً، ما دام واحدٌ من معاملات $x$ و $y$ و $z$ غير معدوم. وللمستقيم في الفراغ إمّا معادلتان معاً، وإمّا تمثيلٌ وسيطيّ.

مثال الكتاب صفحة 78، وهو أوّل مثالين. حلّ الجملة $x + y - 2 z = - 1$ و $3 x + y - z = - 1$ و $- 2 x - 2 y + 4 z = 1$ يؤول إلى دراسة تقاطع المستويات $P_{1} : x + y - 2 z + 1 = 0$ و $P_{2} : 3 x + y - z + 1 = 0$ و $P_{3} : - 2 x - 2 y + 4 z - 1 = 0$ . ولا يحتاج هذا المثال إلى حذفٍ ولا إلى غاوس: تكفيه قراءةُ الأشعّة الناظمة ثمّ مقارنةُ حدٍّ ثابتٍ واحد.

\begin{aligned} {\vec{n}}_{1} & (1, 1, - 2) \\ {\vec{n}}_{2} & (3, 1, - 1) \\ {\vec{n}}_{3} & (- 2, - 2, 4) \end{aligned}

1. ① اقرأ الأشعّة الناظمة من المعاملات المعاملات هي مركّبات الشعاع الناظم، بلا حساب. وبمجرّد أن تكتب الثلاثة يقع في عينك أنّ الثالث مضاعفٌ للأوّل: كلّ مركّبةٍ فيه هي مركّبة الأوّل مضروبةً في $- 2$ .
${\vec{n}}_{3} = - 2 {\vec{n}}_{1}$
2. ② ما الذي يعنيه هذا، وما الذي لا يعنيه الشعاعان مرتبطان خطّيّاً، فالمستويان $P_{1}$ و $P_{3}$ متوازيان. لكنّ هذا لم يحسم كلّ شيء: بقي احتمالان، الانطباق والتوازي مع الاختلاف. والأشعّة الناظمة لا تعرف شيئاً عن الحدّ الثابت، فلا تستطيع الفصل بينهما.
$P_{1} ∥ P_{3}$
3. ③ اقسم لتصير الصورتان قابلتين للمقارنة اقسم معادلة $P_{3}$ على $- 2$ ، فتأخذ صورة معادلة $P_{1}$ نفسها في الطرف الأيسر. وانتبه إلى إشارة القاسم: القسمة على $- 2$ تقلب إشارات الحدود كلّها، والحدّ الثابت معها.
$x + y - 2 z = - \frac{1}{2}$
4. ④ قارن الحدّين الثابتين الأوّل يعطي $- 1$ والثالث يعطي $- \frac{1}{2}$ ، وهما مختلفان. فالمستويان متوازيان وغير منطبقين، ولا نقطة مشتركة بينهما. وما لا نقطة مشتركة فيه لاثنين، لا نقطة مشتركة فيه للثلاثة: التقاطع خالٍ، وليس للجملة حلول.
$- 1 \neq - \frac{1}{2}$

ولاحظ ما لم يُستعمل: $P_{2}$ لم يدخل الحساب مرّةً واحدة، والكتاب لا ينبّه إلى ذلك. والسبب أنّ التقاطع الثلاثيّ محتوىً في تقاطع أيّ اثنين منها، فخلوّ أحد التقاطعات الثنائيّة يكفي. أمّا العكس فلا يجوز: إذا تقاطع الأوّلان في مستقيم، فلا يُحكم أبداً قبل النظر في الثالث.

P_{1} \cap P_{3} = \emptyset ⟹ P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \emptyset

المستويان $P_{1} : 2 x - y + z = 1$ و $P_{3} : - 4 x + 2 y - 2 z = 3$ . ما وضعهما، وما الذي يترتّب عليه؟

كيف أبدأ؟ قارن المركّبات أوّلاً لتعرف إن كان الناظمان مرتبطين خطّيّاً. وإن كانا، فالسؤال لم يُحسم بعد: اقسم إحدى المعادلتين حتّى تتّفق الصورتان، ثمّ انظر في الحدّ الثابت.

أ)متوازيان ومختلفان، والتقاطع الثلاثيّ خالٍ مهما كان $P_{2}$
ب)منطبقان
ج)متقاطعان في مستقيم

أ. نعم. ${\vec{n}}_{3} = - 2 {\vec{n}}_{1}$ فهما متوازيان، واقسم الثانية على $- 2$ فتخرج $2 x - y + z = - \frac{3}{2}$ ، والأولى تعطي $1$ . حدّان ثابتان مختلفان مع ناظمين مرتبطين يعنيان التوازي مع الاختلاف، ولا نقطة مشتركة.

مثال الكتاب صفحة 78 وحلّه صفحة 79، وعنوانه «تعيين تقاطع ثلاثة مستويات». المستويات $P_{1} : - x + 2 y + 3 z - 5 = 0$ و $P_{2} : 3 x - y - 4 z + 5 = 0$ و $P_{3} : 2 x + 3 y - 2 z + 2 = 0$ . أثبت أنّها تتقاطع في نقطةٍ واحدة، وعيّن إحداثيّاتها. وهنا لا مفرّ من الحساب، والكتاب يتّبع طريقة غاوس.

{\begin{cases} - x + 2 y + 3 z = 5 \\ 3 x - y - 4 z = - 5 \\ 2 x + 3 y - 2 z = - 2 \end{cases}

1. ① انقل الحدّ الثابت إلى الطرف الآخر المعادلة الديكارتيّة تنتهي بـ $= 0$ ، وسطر الجملة يضع الثابت وحده على اليمين. والنقل يقلب الإشارة: $- 5$ يصير $5$ . الكتاب يفعل هذا بلا تعليق في السطور الثلاثة، وهو أوّل موضعٍ يخسر فيه الطالب نقاطاً.
$\begin{aligned} - x + 2 y + 3 z - 5 = 0 \\ ⟺ & - x + 2 y + 3 z = 5 \end{aligned}$
2. ② احذف $x$ من السطرين الأخيرين نجمع إلى السطر الثاني ثلاثة أمثال الأوّل، وإلى الثالث مثلي الأوّل. والعمليّة تجري على الطرفين معاً: $- 5 + 3 \times 5 = 10$ و $- 2 + 2 \times 5 = 8$ . والسطر الأوّل يبقى كما هو، فهو الذي سيعطي $x$ في النهاية.
${\begin{cases} 5 y + 5 z = 10 \\ 7 y + 4 z = 8 \end{cases}$
3. ③ بسّط ثمّ احذف $y$ اقسم السطر الأوّل من الاثنين على $5$ فيصير $y + z = 2$ ، وهذا يسهّل ما بعده. ثمّ اطرح من السطر الآخر سبعة أمثاله: $7 y + 4 z - 7 (y + z) = - 3 z$ على اليسار، و $8 - 14 = - 6$ على اليمين.
$y + z = 2, - 3 z = - 6$
4. ④ عُدْ إلى الأعلى بالترتيب من $- 3 z = - 6$ يخرج $z = 2$ . ثمّ ضعه في $y + z = 2$ فيخرج $y = 0$ وحده. ثمّ ضع الاثنين في السطر الأوّل: $- x + 0 + 6 = 5$ أي $x = 1$ . الترتيب ليس زينة: السطر الأوّل بمجهولين لا يعطي شيئاً.
$z = 2, y = 0, x = 1$

وللسؤال جوابان لا جواب واحد. الجواب الجبريّ أنّ الجملة تقبل حلاًّ وحيداً هو الثلاثيّة $(1, 0, 2)$ . والجواب الهندسيّ أنّ المستويات تتقاطع في نقطةٍ واحدة هي $I (1, 0, 2)$ . ومن طُلب منه «تعيين إحداثيّاتها» فقد طُلب منه الاثنان معاً. وتحقّق دائماً: ضع الثلاثيّة في المعادلات الثلاث، فالسطر الثالث لم يُستعمل إلّا مرّةً واحدة.

(x, y, z) = (1, 0, 2) ⟹ I (1, 0, 2)

انتبه: وإذا خرج التقاطع مستقيماً، فلا تظنّ أنّ جوابك ناقص. الجدول يقبل $Δ$ معرَّفاً باثنتين من المعادلات الثلاث، وهذه صيغةٌ تامّة، وقد قال الدرس السابق الشيء نفسه بعبارةٍ أصرح. أمّا إن طُلب التمثيل الوسيطيّ صراحةً، فاصنعه بحلّ الجملة: أبقِ مجهولاً حرّاً وعبّر عن الآخرين به، ولا يكفي أن تنقل المعادلتين.

الجملة $2 x - y + 3 z = 2$ و $x + 2 y + z = 1$ و $3 x - 4 y + 5 z = 4$ . ولاحظ في الأطراف اليسرى أنّ $3 x - 4 y + 5 z = 2 (2 x - y + 3 z) - (x + 2 y + z)$ . ما هو تقاطع المستويات الثلاثة؟

كيف أبدأ؟ السطر الثالث تركيبٌ من الأوّلين في طرفه الأيسر. فاحسب التركيب نفسه في الطرف الأيمن، وقارن ما يخرج بـ $4$ .

أ)مستقيم مشترك
ب)مجموعة خالية
ج)نقطة وحيدة

ب. نعم. كلّ ثلاثيّةٍ تحقّق السطرين الأوّلين تعطي في الطرف الأيسر الثالث القيمة $3$ ، والسطر الثالث يطلب $4$ . فلا ثلاثيّة تحقّق الثلاثة، والتقاطع خالٍ. وهندسيّاً: $P_{3}$ يوازي فصل الأوّلين المشترك ولا يحويه.