نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع اللّوغاريتميالتحليل

والبرهان الأوّل أقصر ممّا تتوقّع، لأنّه ليس حساب نهايةٍ أصلاً بل قراءةً لتعريف العدد المشتق. تذكّر أنّ معدل التغير بين $1$ و $1+x$ هو فرق القيمتين على فرق الفاصلتين.

أمّا البرهان الثاني فيستعمل ما أثبتناه في الدرس الثالث: $\ln x<2\sqrt{x}$ عند كلّ $x>0$. ولمّا كان $\ln x>0$ في حالة $x>1$، صار عندنا حصرٌ من الطرفين.

والبرهان الثالث يستعمل تغيير المتحوّل نفسه الذي رأيناه في الدرس الثالث. نضع $u={\displaystyle \frac{1}{x}}$، فيكون $x\ln x=-{\displaystyle \frac{\ln u}{u}}$، وعندما تسعى $x$ إلى الصفر بقيمٍ موجبة تسعى $u$ إلى $+\mathrm{\infty }$. فتصير النهاية المطلوبة معاكس النهاية الثانية، أي صفراً.

تذكّر: الخلاصة التي تحملها النهايات الثلاث جملةٌ واحدة: اللوغاريتم بطيء. عند اللانهاية يصغر أمام $x$، وقرب الصفر لا يقوى نزوله على مقاومة هبوط $x$ إلى الصفر. وبالرموز، حيث $n\ge 1$: عند $+\mathrm{\infty }$ يكون $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$، وقرب الصفر من اليمين يكون $x^n\ln x\to 0$. فانظر إلى شكل المقدار، قسمةٌ هو أم جداء، قبل أن تقول أيّهما يغلب.

ويضيف الكتاب أربع نهايات أخرى في إطارٍ بلا رقم. ولا تحفظها بالجهد نفسه: الأولى مقلوب النهاية الأولى، والثانية هي النهاية الأولى نفسها بعد إزاحة، والثالثة مقلوب الثانية، والرابعة مقلوب النهاية الثانية من المبرهنة.

انتبه: لا تقلب النهاية بلا تفكير. قلبُ النهاية جائزٌ عندما تكون النهاية عدداً غير معدوم، فتصير مقلوبه. أمّا إذا كانت صفراً فادرس إشارة المقدار من كلّ جهة: إن ثبتت إشارته سعى مقلوبه إلى $+\mathrm{\infty }$ أو إلى $-\mathrm{\infty }$، وإن اختلفت بين الجهتين فلا نهاية للمقلوب من الجهتين معاً، كما في $\frac{1}{x}$ عند الصفر.

ولكلّ حالةٍ من حالات عدم التعيين حيلةٌ تناسبها. ومثال الكتاب الآتي، وهو مثالٌ واحد من ثلاثة أقسام، يعرض ثلاثاً منها: التجميع في كسرٍ واحد، وتغيير المتحوّل، وضمّ لوغاريتمين في واحد.

والقسم الثاني هو التابع $g(x)=x\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$ عند $+\mathrm{\infty }$. نضع $u={\displaystyle \frac{1}{x}}$، فيصير $g(x)={\displaystyle \frac{\ln (1+u)}{u}}$. وعندما تسعى $x$ إلى $+\mathrm{\infty }$ تسعى $u$ إلى الصفر، فنقع على النهاية الأولى من هذا الدرس تماماً، وقيمتها $1$.

تذكّر: بهذا تكتمل الوحدة. وما تحمله معك إلى وحدة التابع الأسّي ثلاثة أشياء: أنّ اللوغاريتم بطيء، وأنّ فرق اللوغاريتمين يُضمّ قبل أيّ حساب، وأنّ مجموعة التعريف تُكتب قبل الحلّ لا بعده.