لوغاريتم جداء ضربالتحليل

وبرهان الكتاب أنيق، ويستعمل أداتين من وحدة الاشتقاق: اشتقاق التابع المركّب، وأنّ تابعاً مشتقّه معدوم على مجالٍ هو تابعٌ ثابت عليه. نثبّت $a$ ونبني تابعاً يقيس الفرق بين الطرفين.

انتبه: لا تعمّم في الاتّجاه الخطأ. الخاصّة تقول شيئاً عن الجداء ولا تقول شيئاً عن المجموع: $\ln (a+b)$ لا يساوي $\ln a+\ln b$، وجرّبها بـ $a=b=1$ فيصير الطرف الأيسر $\ln 2$ والأيمن صفراً. وكذلك الطرف الأيمن مجموعٌ لا جداء: $\ln (ab)$ ليس $\ln a\times \ln b$.

لا شيء ممّا يأتي قاعدةٌ جديدة تُحفظ وحدها. كلّها تخرج من المبرهنة السابقة في سطرٍ أو سطرين، ومعرفة الطريق أنفع من حفظ النتيجة.

انتبه: ثلاثة أخطاء تتكرّر هنا كلّ عام، وكلّها من النوع نفسه: نقل العمليّة كما هي بدل تحويلها. $\ln {\displaystyle \frac{a}{b}}$ ليس ${\displaystyle \frac{\ln a}{\ln b}}$، و $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(a^n\right)$ ليس ${(\ln a)}^n$، و $\ln \sqrt{a}$ ليس $\sqrt{\ln a}$. في الثلاثة تنزل العمليّة درجةً واحدة: القسمة تصير طرحاً، والقوّة تصير ضرباً، والجذر يصير قسمةً على اثنين.

لماذا لا تصحّ المساواة $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^2\right)=2\ln x$ على $\mathbb{R}$؟ لأنّ الخاصّة الأساسيّة صحيحة فقط على مجموعة الأعداد الموجبة تماماً، والطرف الأيسر معرّف عند كلّ $x$ غير معدوم بينما الطرف الأيمن يشترط $x>0$.

ولحساب $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^2\right)$ على مجموعة تعريفه كلّها نكتب المربّع بصورةٍ تحفظ الإيجاب: $x^2=x\times x=\mid x\mid \times \mid x\mid$، وهذان عاملان موجبان تماماً عند كلّ $x\mathrm{\ne }0$.

تذكّر: الصيغة الجامعة $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^2\right)=2\ln \mid x\mid$ صحيحة عند كلّ $x\mathrm{\ne }0$ وتغنيك عن الحالتين. وهي تعمّم إلى كلّ قوّةٍ زوجيّة. هذا هو الموضع الذي يخسر فيه الطلّاب أكثر ما يخسرون في هذه الوحدة، لأنّ الجواب الناقص يبدو صحيحاً تماماً.

وللفخّ نفسه صورةٌ ثانية يعرضها الكتاب. تأمّل التابعين $f:x\mapsto \ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2-1)$ و $g:x\mapsto \ln (x+1)+\ln (x-1)$. القاعدة الأساسيّة توحي بأنّهما التابع نفسه، لأنّ $x^2-1=(x+1)(x-1)$. وهذا غير صحيح.

تذكّر: نستنتج أنّ $f$ و $g$ غير متساويين، لاختلاف مجموعتي تعريفهما. ولكن مهما كان $x$ من $D_f\cap D_g=]1,+\mathrm{\infty }[$ كان $f(x)=g(x)$. أي أنّ القاعدة لم تكذب، بل ضيّقت المجال.

انتبه: احفظ الاتّجاه: تفكيك اللّوغاريتم إلى مجموع يُصغّر مجموعة التعريف أو يُبقيها، ولا يوسّعها أبداً. لذلك تُحسب مجموعة التعريف من الصيغة الأصليّة قبل أيّ تفكيك، لا بعده. الفرق هنا هو المجال $]-\mathrm{\infty },-1[$ كاملاً، وهو نصف الجواب.

نجمع الآن قواعد هذا الدرس مع طريقة الدرس السابق. المفتاح في الاثنين واحد: نوحّد الطرفين في لوغاريتمٍ واحدٍ على كلّ جهة، ثمّ نتخلّص منهما، ثمّ نعرض النتيجة على مجموعة التعريف.

تذكّر: قواعد هذا الدرس تدخل في كلّ مسألةٍ لاحقة من الوحدة: في الاشتقاق، وفي النهايات، وفي دراسة التوابع. أتقنها الآن، فما بعدها يبني عليها ولا يعيدها.