بسيطةالدرس 3

الدرس 3: تقارب المتتاليات المطّردة

التمرين الأوّل من امتحان 2022، الدورة الأولى

70 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2022، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

نعرّف المتتالية (un)n≥0 وفق:

un+1=un2−4un+6,u0=52

المطلوب:

  1. 1.أثبت مستعملاً البرهان بالتدريج أنّ 2≤un≤3 أيّاً كان العدد الطبيعي n.
  2. 2.أثبت أنّ un+1−un=(un−3)(un−2).
  3. 3.استنتج أنّ المتتالية (un)n≥0 متناقصة.
  4. 4.بيّن أنّ المتتالية (un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها.

الاطّراد: صورة الأطراف في الطلب الأوّل تحفظ الترتيب لأنّ f متزايدٌ على مجالٍ يحوي 2 وun و3 معاً. والتابع f ليس متزايداً على R كلّه: هو متناقصٌ على ]−∞,2]، وهناك تنقلب المتراجحة عند أخذ الصور. لذلك يطلب السلّم إثبات الاطّراد على [2,+∞[ أو [2,3].

الحصر: من حصر كلّ حدٍّ من un2−4un+6 وحده، 4≤un2≤9 و−12≤−4un≤−8، ثمّ جمع وأضاف 6، خرج له −2≤un+1≤7، وهذا لا يعطي E(n+1). العدد un يظهر في حدّين، فإذا كبر الأوّل صغر الثاني، وجمع الحصرين يُهمل هذا. لذلك يمرّ السلّم بالتابع f واطّراده، أو بالمربّع الكامل (un−2)2+2 الذي لا يظهر فيه un إلّا مرّة.

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

  1. 1. أثبت مستعملاً البرهان بالتدريج أنّ 2≤un≤3 أيّاً كان العدد الطبيعي n.(40 درجةً)

    الحالة القاعديّةالدرجة: 5

    نرمز إلى الخاصّة المطلوبة بـE(n): 2≤un≤3، من أجل n≥0. عند n=0 يكون u0=52=2.5، و2≤2.5≤3، فالخاصّة E(0) صحيحة.

    الافتراضالدرجة: 5

    نفترض صحّة الخاصّة من أجل عددٍ طبيعيّ n، ونبرهن صحّتها من أجل n+1:

    E(n):  2≤un≤3E(n+1):  2≤un+1≤3
    التابع ومشتقّهالدرجة: 5+5

    نضع f(x)=x2−4x+6، فتصير العلاقة التدريجيّة un+1=f(un). والتابع f كثير حدود، فهو اشتقاقيّ على R:

    f′(x)=2x−4=2(x−2)
    الاطّرادالدرجة: 2+3

    المشتق موجبٌ تماماً على ]2,+∞[ ولا ينعدم إلّا عند 2، فالتابع f متزايدٌ تماماً على [2,+∞[، وعلى [2,3] خاصّةً.

    صورة الأطرافالدرجة: 5

    الأعداد 2 وun و3 تقع في [2,3] حيث f متزايد، فصورها بالتابع f مرتّبةٌ مثلها:

    f(2)≤f(un)≤f(3)f(2)=4−8+6=2f(3)=9−12+6=3
    الوصولالدرجة: 5

    وf(un)=un+1، فالحصر السابق هو:

    E(n+1):  2≤un+1≤3
    الجوابالدرجة: 5

    فالخاصّة E(n+1) محقّقة اعتماداً على صحّة E(n)، ومع صحّة E(0) تكون الخاصّة صحيحةً أيّاً كان العدد الطبيعيّ n:

    ∀n≥0:  2≤un≤3

    وفي السلّم طريقةٌ ثانية لبرهان E(n+1) دون التابع: الإتمام إلى مربّعٍ كامل un+1=(un−2)2+2 (5)، ثمّ إضافة −2 إلى المتراجحة فـ0≤un−2≤1 (5)، ثمّ التربيع فـ0≤(un−2)2≤1 (5)، وهو جائزٌ لأنّ الأطراف لا تقلّ عن الصفر، ثمّ إضافة 2 (5)، والوصول إلى E(n+1) (5)، و«E(n+1) محقّقة ومنه E(n) صحيحة» (5).

  2. 2. أثبت أنّ un+1−un=(un−3)(un−2).(5 درجات)

    الجوابالدرجة: 5

    نعوّض un+1 بعبارته، ثمّ نحلّل ثلاثيّ الحدود الناتج، وجذراه 2 و3:

    un+1−un=un2−4un+6−un=un2−5un+6=(un−3)(un−2)

    تحقّق بالنشر: الجداء (un−3)(un−2) يساوي un2−5un+6.

  3. 3. استنتج أنّ المتتالية (un)n≥0 متناقصة.(10 درجات)

    الجوابالدرجة: 5+5

    من الطلب الأوّل 2≤un≤3، فالقوس un−2 موجبٌ أو معدوم، والقوس un−3 سالبٌ أو معدوم، وجداؤهما سالبٌ أو معدوم. ومن الطلب الثاني هذا الجداء هو الفرق:

    un+1−un≤0un+1≤un

    وذلك أيّاً كان n، فالمتتالية (un)n≥0 متناقصة. وفي السلّم طريقةٌ ثانية لبرهان الاطّراد بالتدريج: الوصول إلى u1<u0 (5)، ثمّ un+1<un (3)، ثمّ «f متزايد» فـf(un+1)<f(un) (3)، ثمّ un+2<un+1 (4). وهنا u1=94<52، وf متزايدٌ تماماً على [2,3] حيث تقع الحدود.

  4. 4. بيّن أنّ المتتالية (un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها.(15 درجةً)

    التقاربالدرجة: 5

    المتتالية متناقصة بالطلب الثالث، ومحدودةٌ من الأدنى بالعدد 2 بالطلب الأوّل. وكلّ متتاليةٍ متناقصةٍ ومحدودةٍ من الأدنى متقاربة:

    ∃ℓ∈R:lim⁡n→+∞un=ℓ
    المعادلةالدرجة: 5

    التابع f كثير حدود، فهو مستمرٌّ عند ℓ، وun+1=f(un)، فالنهاية حلٌّ للمعادلة f(x)=x:

    x2−4x+6=xx2−5x+6=0(x−2)(x−3)=0

    فللمعادلة حلّان: 2 و3.

    الجوابالدرجة: 5

    المتتالية متناقصة، فكلّ حدودها لا تزيد على u0=52، والعبور إلى النهاية يحفظ ≤، فـℓ≤52، والحلّ 3 مستبعد:

    lim⁡n→+∞un=2

    في سلّم التصحيح: «إذا كتب الطالب نهايتان للمتتالية يخسر 5 درجات»، أي النهاية واحدة، ومن ترك الحلّين 2 و3 معاً دون أن يستبعد أحدهما خسر خمس درجات.