الجداء السّلّمي في الفراغالهندسة الفراغية

على أيّ شيءٍ يقوم تعريف الجداء السّلّمي في الفراغ؟

• على الزاوية بين الشعاعين
• على مركّبات الشعاعين في معلمٍ متجانس
• على نظائم الأشعّة وحدها

لماذا تبقى العبارات التي أُثبتت في المستوي صحيحةً في الفراغ؟

• لأنّ شعاعين يقعان بالضرورة في مستوٍ واحد
• لأنّ كلّ برهانٍ أُعيد في الفراغ من جديد
• لأنّ المعلم المتجانس موجودٌ دائماً في الفراغ

في معلمٍ متجانس، ما الصيغة التحليليّة للجداء السّلّمي في الفراغ؟

• $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$
• $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$
• $xyz+x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}{z}^{\mathrm{\prime }}$

$A(2,1,0)$ و$B(1,3,2)$. ما مركّبات $\overrightarrow{AB}$؟

• $(1,3,2)$
• $(-1,2,2)$
• $(1,-2,-2)$

هل تصلح $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$ في أيّ معلمٍ كان؟

• لا، تشترط معلماً متجانساً
• نعم، فالمركّبات مركّبات في كلّ الأحوال
• تصلح إذا كان المعلم متعامداً فقط

ما $\left(2\vec{u}\right)\cdot \left(3\vec{v}\right)$؟

• $2(\vec{u}\cdot \vec{v})$
• $5(\vec{u}\cdot \vec{v})$
• $6(\vec{u}\cdot \vec{v})$

هل الكتابة $(\vec{u}\cdot \vec{v})\cdot \vec{w}$ صحيحة؟

• لا، لأنّ $\vec{u}\cdot \vec{v}$ عددٌ لا شعاع
• نعم، فالجداء السّلّمي تجميعيّ
• نعم، إذا كان المعلم متجانساً

علمت أنّ $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}$. هل يتبع ذلك $\vec{v}=\vec{w}$؟

• نعم، بالاختصار على $\vec{u}$
• لا، يتبع فقط أنّ $\vec{u}$ عموديٌّ على $\vec{v}-\vec{w}$
• نعم، بشرط أن يكون $\vec{u}$ غير معدوم

$ABCD$ رباعي وجوهٍ منتظم طول حرفه $a$. ما $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$؟

• $0$
• $a^2$
• ${\displaystyle \frac{a^2}{2}}$