الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: الجداء السّلّمي في الفراغ

الجداء السّلّمي في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. على أيّ شيءٍ يقوم تعريف الجداء السّلّمي في الفراغ؟
- أ)على الزاوية بين الشعاعين
- ب)على مركّبات الشعاعين في معلمٍ متجانس
- ج)على نظائم الأشعّة وحدها
2. لماذا تبقى العبارات التي أُثبتت في المستوي صحيحةً في الفراغ؟
- أ)لأنّ شعاعين يقعان بالضرورة في مستوٍ واحد
- ب)لأنّ كلّ برهانٍ أُعيد في الفراغ من جديد
- ج)لأنّ المعلم المتجانس موجودٌ دائماً في الفراغ
3. في معلمٍ متجانس، ما الصيغة التحليليّة للجداء السّلّمي في الفراغ؟
- أ) $x x^{'} + y y^{'}$
- ب) $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$
- ج) $x y z + x^{'} y^{'} z^{'}$
4. $A (2, 1, 0)$ و $B (1, 3, 2)$ . ما مركّبات $\vec{A B}$ ؟
- أ) $(1, 3, 2)$
- ب) $(- 1, 2, 2)$
- ج) $(1, - 2, - 2)$
5. هل تصلح $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ في أيّ معلمٍ كان؟
- أ)لا، تشترط معلماً متجانساً
- ب)نعم، فالمركّبات مركّبات في كلّ الأحوال
- ج)تصلح إذا كان المعلم متعامداً فقط
6. ما $(2 \vec{u}) \cdot (3 \vec{v})$ ؟
- أ) $2 (\vec{u} \cdot \vec{v})$
- ب) $5 (\vec{u} \cdot \vec{v})$
- ج) $6 (\vec{u} \cdot \vec{v})$
7. هل الكتابة $(\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}$ صحيحة؟
- أ)لا، لأنّ $\vec{u} \cdot \vec{v}$ عددٌ لا شعاع
- ب)نعم، فالجداء السّلّمي تجميعيّ
- ج)نعم، إذا كان المعلم متجانساً
8. علمت أنّ $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ . هل يتبع ذلك $\vec{v} = \vec{w}$ ؟
- أ)نعم، بالاختصار على $\vec{u}$
- ب)لا، يتبع فقط أنّ $\vec{u}$ عموديٌّ على $\vec{v} - \vec{w}$
- ج)نعم، بشرط أن يكون $\vec{u}$ غير معدوم
9. $A B C D$ رباعي وجوهٍ منتظم طول حرفه $a$ . ما $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $a^{2}$
- ج) $\frac{a^{2}}{2}$
10. في رباعي الوجوه المنتظم يخرج $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ . ماذا يعني ذلك؟
- أ)أنّ المستقيمين $(A B)$ و $(C D)$ متقاطعان وزاويتهما قائمة
- ب)أنّ أحد الشعاعين معدوم
- ج)أنّ الشعاعين متعامدان، ولو كان الحرفان متخالفين
11. في مكعّب $A B C D E F G H$ بحرفٍ طوله $a$ ، كيف يحسب الكتاب $\vec{A E} \cdot \vec{A G}$ ؟
- أ)بضرب الطولين: $a \times a \sqrt{3}$
- ب)بإسقاطين: $G$ على المستوي $(A D H)$ ، ثمّ $H$ على المستقيم $(A E)$
- ج)بإسقاطٍ واحد لـ $G$ على المستقيم $(A E)$ مباشرةً
12. $A (1, 0, 0)$ و $B (0, 1, 0)$ ، و $M$ منتصف $[A B]$ . ما إحداثيّات $M$ ؟
- أ) $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
- ب) $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
- ج) $(1, 1, 0)$

سلّم التصحيح

1. ج نعم: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} ({∥ \vec{u} + \vec{v} ∥}^{2} - {∥ \vec{u} ∥}^{2} - {∥ \vec{v} ∥}^{2})$ . ولذلك يبدأ الدرس بسطرٍ يختار واحدةً للطول.
2. أ نعم، وهذا نصّ الكتاب في إطار المصباح: اكتب $\vec{u} = \vec{A B}$ و $\vec{v} = \vec{A C}$ ، فيوجد مستوٍ يحوي النقاط الثلاث، وواحدة الطول فيه هي نفسها.
3. ب نعم، وهي مبرهنة 3. برهانها تعويضٌ في التعريف: نظيم المجموع ناقص النظيمين، ثمّ القسمة على اثنين.
4. ب نعم: نهاية ناقص بداية في كلّ مركّبة، أي $(1 - 2, 3 - 1, 2 - 0)$ .
5. أ نعم، والكتاب يبرز الكلمتين بلونٍ مختلف في نصّ المبرهنة. البرهان نفسه يحسب النظائم بفيثاغورس، وهذا لا يصحّ إلّا في معلمٍ متجانس.
6. ج نعم: $(a \vec{u}) \cdot (b \vec{v}) = a b (\vec{u} \cdot \vec{v})$ .
7. أ نعم. التعريف يقول «هو العدد الحقيقيّ»، والجداء السّلّمي معرّفٌ بين شعاعين لا بين عددٍ وشعاع. أمّا $(\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ بلا نقطة فهي ضرب شعاعٍ بعدد، وهي صحيحة.
8. ب نعم: بالتوزيع $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$ . والتساوي حالةٌ خاصّة من ذلك، لا نتيجةٌ له.
9. ج نعم: $a \times a \times \cos \frac{π}{3} = \frac{a^{2}}{2}$ . وكلّ وجهٍ في رباعي الوجوه المنتظم مثلّثٌ متساوي الأضلاع.
10. ج نعم. والكتاب يترك هذا الصفر بلا تعليق، لأنّ تعريف التعامد في الفراغ يأتي في الدرس التالي صفحة 45.
11. ب نعم، وهذا ما يفعله الكتاب صفحة 44. النتيجة $\vec{A E} \cdot \vec{A E} = a^{2}$ . ولاحظ أنّ الإسقاط على مستوٍ لم يُعرَّف في لُبّ الدرس، بل ظهر في الحلّ وحده.
12. أ نعم: المنتصف هو المتوسّط الحسابيّ لإحداثيّات الطرفين، مركّبةً مركّبة.