الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

الاستقلال الاحتمالي لمتحوّلين عشوائيّين

جدولٌ بمدخلين، وطريقٌ مفتوحٌ في اتّجاهٍ واحدٍ فقط

الاحتمالات . الوحدة 7 . الدرس 3

بسيطة

في الدرس السابق كان على $Ω$ متحوّلٌ عشوائيّ واحد. والآن اثنان معاً، $X$ و $Y$ ، على فضاء العيّنة نفسه. والكلمة «نفسه» هي شرط الدرس كلّه: السحبة الواحدة تعيّن قيمتَي المتحوّلين في آنٍ واحد، ولذلك يصحّ أن نسأل عن وقوعهما معاً. وستتعلّم ثلاثة أشياء بهذا الترتيب: كيف يُكتب قانونهما المشترك في جدولٍ بمدخلين، وكيف تستخرج منه قانون كلٍّ منهما على حدة، ثمّ الأهمّ: أنّ الطريق الأوّل مفتوحٌ دائماً والثاني مسدودٌ إلا في حالةٍ واحدة، وهي حالة الاستقلال.

قانون الزوج

مثالٌ واحدٌ يحمل الدرس كلّه، وهو مثال الكتاب صفحة 166. صندوقٌ فيه ثلاث كرات: واحدةٌ حمراء تحمل الرقم $1$ ، واثنتان زرقاوان تحملان الرقمين $2$ و $3$ . نسحب كرتين على التتالي مع الإعادة، فالصندوق يعود إلى حاله بعد السحبة الأولى، ولذلك يكون $Ω$ مؤلّفاً من تسع نتائج مرتّبة، لا ستّ. والمقام تسعةٌ في كلّ ما يأتي، وهو أوّل ما تتحقّق منه.

ونعرّف على المجموعة $Ω$ نفسها متحوّلين لا متحوّلاً واحداً. الأوّل $X$ يقرن بكلّ نتيجةٍ عدد الكرات الزرقاء المسحوبة، فقيمه $I = {0, 1, 2}$ . والثاني $Y$ يقرن بكلّ نتيجةٍ مجموع رقمي الكرتين، فقيمه $J = {2, 3, 4, 5, 6}$ . ولاحظ أنّ الأوّل يعدّ والثاني يجمع، ومن هنا اختلاف مجموعتي القيم. وخذ نتيجةً واحدة لترى كيف يعمل الاثنان معاً: عند $(2, 1)$ ، أي الكرة $2$ أوّلاً ثمّ الكرة $1$ ، يكون $X = 1$ لأنّ زرقاء واحدةً خرجت، و $Y = 2 + 1 = 3$ . سحبةٌ واحدة، قيمتان في آنٍ واحد.

وقانون الزوج معناه إعطاء احتمال كلّ حدثٍ من الشكل $(X = x_{i}) \cap (Y = y_{j})$ . ولنحسب ثلاث خاناتٍ من الجدول، مرتّبةً من الأسهل إلى الأصعب، كما يفعل الكتاب.

p_{i, j} = P ((X = x_{i}) \cap (Y = y_{j}))

1. ① خانةٌ بنتيجةٍ واحدة متى يكون المجموع $2$ ؟ فقط إذا خرجت الكرة $1$ مرّتين، أي عند النتيجة $(1, 1)$ وحدها. وعندها لا زرقاء أصلاً، فـ $X = 0$ . فالحدث مجموعةٌ فيها عنصرٌ واحدٌ من تسعة.
$\begin{aligned} (X = 0) \cap (Y = 2) & = {(1, 1)} \\ p_{0, 2} & = \frac{1}{9} \end{aligned}$
2. ② خانتان فارغتان، والصفر جواب وفي العمود نفسه، هل يمكن أن يكون المجموع $2$ مع زرقاءَ واحدةٍ أو زرقاوين؟ لا، لأنّ أصغر رقمٍ على كرةٍ زرقاء هو $2$ ، فمجموعُ أيّ سحبةٍ فيها زرقاء أكبر من $2$ . فالحدثان مستحيلان.
$(X = 1) \cap (Y = 2) = \emptyset, p_{1, 2} = p_{2, 2} = 0$
3. ③ خانةٌ بنتيجتين، والترتيب هو السبب زرقاءُ واحدةٌ ومجموعٌ $4$ يعني الكرتين $1$ و $3$ ، وهما تأتيان بترتيبين لأنّ السحب على التتالي: $(1, 3)$ و $(3, 1)$ . ومن أهمل الترتيب كتب $\frac{1}{9}$ وأخطأ.
$\begin{aligned} (X = 1) \cap (Y = 4) & = {(1, 3), (3, 1)} \\ p_{1, 4} & = \frac{2}{9} \end{aligned}$
4. ④ وهكذا تُملأ الخانات الخمس عشرة ثلاث قيمٍ لـ $X$ وخمسٌ لـ $Y$ ، فخمس عشرة خانة. أكثرها أصفار، وذلك لأنّ عدد الزرقاوات يقيّد المجموع تقييداً شديداً. والتحقّق الوحيد الذي تحتاجه: مجموع الخانات كلّها يساوي واحداً.
$3 \times 5 = 15$

والصفر في خانةٍ ليس فراغاً تركته، بل نتيجةٌ حسبتها: الحدث مستحيل. وهذا فرقٌ عمليّ، لأنّ خانةً صفريّةً بجوار هامشين غير صفريّين تكفي وحدها لإثبات عدم الاستقلال، كما سترى في آخر الدرس.

p_{1, 2} = 0 \neq p_{1} \times p_{2}^{'}

$_{X}^{Y}$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$p_{i}$
$0$	$\frac{1}{9}$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\frac{1}{9}$
$1$	$0$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{9}$	$0$	$0$	$\frac{4}{9}$
$2$	$0$	$0$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$
$p_{j}^{'}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{3}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$1$

جدول الزوج كما في الكتاب صفحة 167. الخانة العليا مقسومةٌ بقطرٍ في الكتاب، أعلاها Y وأسفلها X، وهي هنا مكتوبةٌ بالرمزين فوق بعضهما بالمعنى نفسه: الصفّ الأوّل قيم Y والعمود الأوّل قيم X. والعمود الأخير والسطر الأخير هما القانونان الهامشيان، ويفصلهما الكتاب عن الجدول بخطوطٍ متقطّعة، لأنّهما ليسا من قانون الزوج بل مستخرجان منه. والواحد في الزاوية مطبوعٌ عند الكتاب بلون الجدول لا بالأسود، فهو مجموع كلّ شيء من أيّ جهةٍ قرأت. ولاحظ الثلث مكتوباً ثلاثة أتساع بلا اختزال، هكذا في الطبع.

تعريف 6

$p_{i, j} = P ((X = x_{i}) \cap (Y = y_{j}))$ ليكن $X$ و $Y$ متحوّلين عشوائيين معرّفين على فضاء العيّنة ذاته $Ω$ . يأخذ $X$ القيم $x_{1}$ حتّى $x_{n}$ ، ويأخذ $Y$ القيم $y_{1}$ حتّى $y_{m}$ . وتعريف قانون الزوج $(X, Y)$ هو إعطاء الاحتمال $p_{i, j}$ لكلّ حدثٍ من هذا الشكل. والشرط الحامل هو «فضاء العيّنة ذاته»، وهو مكتوبٌ في النصّ لا مضمر: بغير تجربةٍ واحدةٍ تعيّن القيمتين معاً لا يوجد قانونٌ مشترك أصلاً.

الكتاب، الصفحة 167

في المثال نفسه، ما $p_{2, 4}$ ، أي احتمال أن تكون الكرتان زرقاوين ومجموعهما $4$ ؟

كيف أبدأ؟ اكتب النتائج التي تحقّق الشرطين معاً، ثمّ عُدَّها واقسم على تسعة. وتذكّر أنّ السحب مع الإعادة، فالنتيجة قد تتكرّر.

أ) $\frac{2}{9}$
ب) $0$
ج) $\frac{1}{9}$

ج. نعم. زرقاوان ومجموعهما $4$ يعني $2 + 2$ ، أي النتيجة $(2, 2)$ وحدها، وهي ممكنةٌ لأنّ السحب مع الإعادة. عنصرٌ واحدٌ من تسعة.

القانونان الهامشيان

والآن سؤال الكتاب تحت عنوان تكريساً للفهم: كيف نحصل على قانون $X$ وحده وقانون $Y$ وحده انطلاقاً من قانون الزوج؟ والجواب في كلمة، اجمع. لكنّ الكلمة وحدها رديئة، لأنّها تُحفظ ولا تُفهم، والكتاب يعطي البرهان في ثلاثة أسطرٍ سريعة. فلنمشِ فيها ببطء.

لماذا يعطي جمعُ سطرٍ كاملٍ احتمالَ $X$ وحده؟ خذ السطر $X = 1$ في جدولنا، ومجموعه $0 + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + 0 + 0 = \frac{4}{9}$ . نريد أن نعرف لماذا هذا العدد هو $P (X = 1)$ .

P (X = 1) = ?

1. ① سمِّ أحداث السطر أوّلاً لكلّ قيمةٍ $k$ من قيم $Y$ سمِّ الحدث $B_{k} = (Y = k)$ . في مثالنا خمسة أحداث، من $B_{2}$ إلى $B_{6}$ . والكتاب يستعمل هذا الرمز ولا يعرّفه في المثال، فسمِّه أنت.
$B_{k} = (Y = k), k \in {2, 3, 4, 5, 6}$
2. ② هذه الأحداث تجزّئ $Ω$ كلّ نتيجةٍ لها مجموعٌ واحدٌ لا غير، فهي تقع في $B_{k}$ واحدٍ بالضبط. فالأحداث الخمسة منفصلةٌ مثنى مثنى واجتماعها $Ω$ كلّه، وهذا هو معنى تجزئة.
$B_{2} \cup B_{3} \cup \dots \cup B_{6} = Ω$
3. ③ فالحدث $(X = 1)$ ينقسم معها خذ الحدث $(X = 1)$ وقاطعه بكلّ $B_{k}$ . القطع الخمس منفصلةٌ مثنى مثنى أيضاً، واجتماعها هو $(X = 1)$ كلّه، لأنّ كلّ نتيجةٍ فيه لها مجموعٌ ما.
$(X = 1) = ((X = 1) \cap B_{2}) \cup \dots \cup ((X = 1) \cap B_{6})$
4. ④ وهنا تدخل مبرهنة 1 من الدرس الأوّل تلك المبرهنة صفحة 155 تقول: احتمال حدثٍ يساوي اجتماع أحداثٍ منفصلةٍ مثنى مثنى هو مجموع احتمالاتها. فينطبق هنا حرفاً بحرف، واحتمال كلّ قطعةٍ هو خانةٌ من السطر.
$P (X = 1) = p_{1, 2} + p_{1, 3} + p_{1, 4} + p_{1, 5} + p_{1, 6} = \frac{4}{9}$

فالجمع ليس اصطلاحاً بل نتيجة، وسببه أنّ قيم $Y$ تجزّئ الفضاء. ولو لم تكن التجزئة كاملةً لسقط السطر. ومن هنا الاسم: $p_{i}$ من جمع الأسطر و $p_{j}^{'}$ من جمع الأعمدة، ويسمّيهما الكتاب القانونين الهامشيين لأنّه يكتبهما على هامش الجدول.

p_{i} = \sum_{j} p_{i, j}, p_{j}^{'} = \sum_{i} p_{i, j}

تذكّر: وانتبه إلى الشرطة مرّةً أخرى، فهي هنا تفرّق بين متحوّلين لا بين صيغتين: $p_{i}$ بلا شرطة يخصّ $X$ دائماً، و $p_{j}^{'}$ بالشرطة يخصّ $Y$ دائماً. ومعها تحقّقان مجّانيّان: مجموع $p_{i}$ واحد، ومجموع $p_{j}^{'}$ واحد، ومجموع خانات الجدول كلّها واحد أيضاً. ثلاث قراءاتٍ لعددٍ واحدٍ في زاوية الجدول.

انتبه: 🚨 والآن الجملة التي يقوم عليها آخر الدرس، ويكتبها الكتاب في سطرٍ واحدٍ سريع: «ولكن عموماً، لا يمكننا استنتاج قانون الزوج $(X, Y)$ انطلاقاً من قانونَي $X$ و $Y$ . هذا ممكنٌ فقط في حالة كون $X$ و $Y$ مستقلَّين». الطريق من الجدول إلى الهامشين مفتوحٌ دائماً، والطريق من الهامشين إلى الجدول مسدودٌ إلا عند الاستقلال. والسبب بسيط: الهامشان يخبرانك كم مرّةً تقع كلّ قيمةٍ على حدة، ولا تخبرانك أيّ قيمتين تقعان معاً.

في جدول المثال، ما $P (Y = 4)$ ؟

كيف أبدأ؟ قيمة $Y$ ثابتةٌ والمطلوب جمعٌ على كلّ قيم $X$ . فهل تجمع سطراً أم عموداً؟ انظر إلى رأس الجدول لتعرف أيّ حرفٍ فوق وأيّ حرفٍ جانباً.

أ) $\frac{3}{9}$
ب) $\frac{4}{9}$
ج) $\frac{2}{9}$

أ. نعم، وهو مجموع عمود $Y = 4$ : $0 + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9}$ . والكتاب يطبعه ثلاثة أتساعٍ بلا اختزال. وهذه أكبر قيمة في هامش $Y$ ، وهو معقول: المجموع $4$ يأتي بثلاث نتائج مختلفة.

الاستقلال الاحتمالي لمتحوّلين

والاستقلال هنا ليس مفهوماً جديداً بل القديم مطبَّقاً على كلّ زوج. تعرف من الدرس الأوّل أنّ حدثين مستقلّان إذا كان احتمال تقاطعهما جداء احتماليهما. وهنا الأحداث كثيرة: $(X = x_{i})$ و $(Y = y_{j})$ لكلّ زوج دليلين. فالتعريف يطلب أن تتحقّق المساواة عند الجميع.

تعريف 7

$p_{i, j} = p_{i} \times p_{j}^{'}$ نقول إنّ المتحوّلين العشوائيين $X$ و $Y$ مستقلان احتماليّاً إذا كان الحدثان $(X = x_{i})$ و $(Y = y_{j})$ مستقلين احتماليّاً أياً كان $i$ و $j$ . حيث $p_{i} = P (X = x_{i})$ و $p_{j}^{'} = P (Y = y_{j})$ . والكتاب يقول شرط الشمول مرّتين متتاليتين، «أياً كان i و j» ثمّ في الجملة التالية «مهما كان i و j»، وليس ذلك تكراراً بلا سبب.

الكتاب، الصفحة 167

انتبه: 🚨 والشرط نفسه متناظرٌ في $X$ و $Y$ ، لكنّ الإثبات والنفي غير متناظرين، وهذا موضع الغلط الأشهر في الدرس. للإثبات يجب أن تتحقّق المساواة في كلّ خانة، ولا تكفي واحدةٌ ولا اثنتان. وإذا فحصنا الشرط مباشرةً خانةً خانةً في جدولنا ذي الخمس عشرة خانة، فتلك خمس عشرة مقارنة؛ أمّا من يستعمل مجاميع الأسطر والأعمدة فقد تكفيه مقارناتٌ أقلّ. وللنفي تكفي خانةٌ واحدةٌ تخالف، وتتوقّف عندها. فالبحث عن الاستقلال عملٌ طويل، والبحث عن نفيه قد ينتهي في السطر الأوّل. وابدأ دائماً بخانةٍ صفريّةٍ إن وُجدت، فهي الأسرع في الكشف.

فلنفحص مثالنا. هل $X$ و $Y$ مستقلّان احتماليّاً؟ الجدول أمامك بهامشيه، فلا يبقى إلا المقارنة.

p_{i, j} = p_{i} \times p_{j}^{'} ?

1. ① اختر خانةً تكشف بسرعة الخانة العليا اليمنى، أي $X = 0$ و $Y = 2$ . هامشها $p_{0} = \frac{1}{9}$ و $p_{2}^{'} = \frac{1}{9}$ ، وهما أصغر عددين في الهامشين.
$p_{0} = \frac{1}{9}, p_{2}^{'} = \frac{1}{9}$
2. ② احسب الجداء وقارن الجداء تُسعٌ من تُسع، أي واحدٌ من واحدٍ وثمانين. والخانة نفسها تُسعٌ كامل، وهي أكبر بتسع مرّات.
$p_{0} \times p_{2}^{'} = \frac{1}{81} \neq \frac{1}{9} = p_{0, 2}$
3. ③ وقف، فقد انتهى الفحص خانةٌ واحدةٌ خالفت، فالمتحوّلان ليسا مستقلّين احتماليّاً. ولا داعي لفحص الأربع عشرة الباقية. ولاحظ المعنى: معرفة أنّ المجموع $2$ تخبرك يقيناً أنّ عدد الزرقاوات صفر، فالخبر الأوّل يحدّد الثاني تماماً.
$p_{0, 2} \neq p_{0} \times p_{2}^{'}$

وفي الكتاب سطرٌ فيه خطأٌ مطبعيّ عند هذا الموضع بعينه: يكتب $p_{0} \times p_{2} = \frac{1}{81}$ بلا شرطة على الثاني. والمقصود $p_{2}^{'}$ ، وهو ما تراه أعلاه. ولو أخذت المطبوع حرفيّاً لكان $p_{2} = \frac{4}{9}$ والجداء $\frac{4}{81}$ ، وهو ليس العدد المكتوب في الكتاب نفسه. فالحساب يكشف الشرطة الساقطة.

p_{0} \times p_{2} = \frac{4}{81} \neq \frac{1}{81}

وهنا ما يطلبه الكتاب في تَدَرَّبْ ② ولا يحلّه: الاستقلال معطى، والجدول ناقص، والمطلوب ملؤه. هذا هو الموضع الوحيد الذي تُستعمل فيه المساواة أداةً لا فحصاً. معطى: $p_{0} = 0.4$ و $p_{2} = 0.4$ و $p_{0}^{'} = 0.3$ وخانةٌ واحدةٌ في الداخل، $p_{1, 2} = 0.04$ .

p_{i, j} = p_{i} \times p_{j}^{'}

1. ① أكمل الهامش الأوّل بالتحقّق مجموع هامش $X$ واحد، وعندك اثنان من ثلاثة. فالثالث بالطرح.
$p_{1} = 1 - 0.4 - 0.4 = 0.2$
2. ② واستعمل الخانة المعطاة عكسيّاً الاستقلال يقول $p_{1, 2} = p_{1} \times p_{2}^{'}$ . وأنت تعرف الخانة وتعرف $p_{1}$ ، فالمجهول واحد. اقسم.
$p_{2}^{'} = \frac{0.04}{0.2} = 0.2$
3. ③ أكمل الهامش الثاني بالتحقّق نفسه مجموع هامش $Y$ واحد أيضاً، وعندك $0.3$ و $0.2$ .
$p_{1}^{'} = 1 - 0.3 - 0.2 = 0.5$
4. ④ والآن كلّ خانةٍ جداء تسع خانات، كلٌّ منها جداء عددٍ من الهامش الأوّل في عددٍ من الهامش الثاني. مثلاً $p_{0, 0} = 0.4 \times 0.3$ و $p_{1, 1} = 0.2 \times 0.5$ . وتحقّق أخيراً أنّ مجموع التسع واحد.
$p_{0, 0} = 0.12, p_{1, 1} = 0.10$

ولاحظ ما صار ممكناً: بهامشين وخانةٍ واحدةٍ بنينا جدولاً كاملاً. هذا بالضبط ما يمنعه الكتاب في الحالة العامّة، ويسمح به هنا لأنّ الاستقلال معطىً في نصّ المسألة. الاستقلال ليس سؤالاً في هذا التمرين بل شرطاً.

p_{i, j} = p_{i} \times p_{j}^{'}

فحص طالبٌ خانةً واحدةً فوجد $p_{i, j} = p_{i} \times p_{j}^{'}$ ، فكتب أنّ المتحوّلين مستقلّان. ما الحكم؟

كيف أبدأ؟ اقرأ تعريف 7 مرّةً أخرى وابحث عن الشرط الذي يكرّره الكتاب في جملتين متتاليتين.

أ)استنتاجه صحيح، فالمساواة تحقّقت
ب)استنتاجه خطأ، فالمساواة مطلوبة في الخانات كلّها
ج)لا يمكن الحكم إلا بحساب التوقّع والتباين

ب. نعم. للإثبات يجب أن تتحقّق المساواة في كلّ الخانات، والفحص المباشر خانةً خانةً في جدولٍ من ثلاثة أسطرٍ وخمسة أعمدة يعني خمس عشرة مقارنة. والجهة الأخرى رخيصة: خانةٌ واحدةٌ مخالفةٌ تنفي الاستقلال وتنهي الفحص.

في جدولٍ لزوجٍ من المتحوّلات، خانةٌ قيمتها صفرٌ وهامشاها موجبان تماماً. ماذا تستنتج فوراً؟

كيف أبدأ؟ احسب الجداء $p_{i} \times p_{j}^{'}$ في هذه الحالة، وقارنه بالصفر.

أ)أنّ الجدول فيه خطأ، فالخانة يجب أن تُملأ
ب)أنّ المتحوّلين ليسا مستقلّين احتماليّاً
ج)أنّ المتحوّلين مستقلّان، لأنّ الصفر لا يؤثّر في الجداء

ب. نعم، وفي سطرٍ واحد: جداء عددين موجبين تماماً موجبٌ تماماً، والخانة صفر، فالمساواة تخيب عند هذا الزوج. وخانةٌ واحدةٌ مخالفةٌ تكفي للنفي. وهذه أسرع طريقةٍ لكشف عدم الاستقلال، فابحث عن الأصفار أوّلاً.