الاستقلال الاحتمالي لمتحوّلين عشوائيّينالتحليل التوافقي والاحتمالات

ما الشرط الذي يجعل الحديث عن قانون الزوج $(X,Y)$ ممكناً أصلاً؟

• أن يكون لـ$X$ و$Y$ العدد نفسه من القيم
• أن يكون المتحوّلان معرّفين على فضاء العيّنة ذاته
• أن يكون المتحوّلان مستقلّين احتماليّاً

في مثال الصندوق، لماذا يكون المقام تسعةً في كلّ خانة؟

• لأنّ الجدول فيه تسع خانات
• لأنّ السحب مع الإعادة، فلكلّ سحبةٍ ثلاثة خيارات
• لأنّ مجموع أرقام الكرات الثلاث تسعة

لماذا $p_{1,4}=\frac{2}{9}$ بينما $p_{2,4}=\frac{1}{9}$، مع أنّ المجموع $4$ في الحالتين؟

• لأنّ الكرة الزرقاء أكثر من الحمراء في الصندوق
• لأنّ $4$ عددٌ زوجيّ
• لأنّ الأولى تتحقّق بنتيجتين والثانية بنتيجةٍ واحدة

لماذا $I=\{0,1,2\}$ بينما $J=\{2,3,4,5,6\}$؟

• لأنّ $Y$ معرّفٌ على فضاءٍ أوسع
• لأنّ $Y$ يعدّ أيضاً، لكنّه يعدّ الكرات الحمراء
• لأنّ $X$ يعدّ الكرات الزرقاء و$Y$ يجمع الأرقام

في جدول الزوج، ماذا يعطيك جمع خانات سطرٍ كامل؟

• $\mathbb{P}(Y=y_j)$، أي هامش $Y$
• $\mathbb{P}(X=x_i)$، أي هامش $X$
• جداء $p_i$ في $p_j^{\mathrm{\prime }}$

أعطيت هامشَي $X$ و$Y$ فقط. هل يمكنك كتابة جدول الزوج؟

• لا، إلا إذا عُلم أنّ المتحوّلين مستقلّان احتماليّاً
• نعم دائماً، بضرب كلّ هامشٍ بالأخرى
• لا أبداً، فالهامشان لا يكفيان في أيّ حال

نريد إثبات الاستقلال بفحص الشرط خانةً خانةً في جدولٍ لزوجٍ فيه ثلاثة أسطرٍ وخمسة أعمدة. كم مساواةً نفحص؟

• واحدة تكفي، فالمساواة إمّا تصحّ وإمّا لا
• ثمانٍ، بعدد الهوامش
• خمس عشرة، بعدد الخانات

في جدولٍ لزوجٍ وجدتَ خانةً قيمتها $0$ وهامشاها $\frac{1}{3}$ و$\frac{1}{4}$. ماذا تستنتج؟

• أنّ المتحوّلين ليسا مستقلّين، وانتهى الفحص
• أنّ الخانة ناقصةٌ ويجب حسابها من الهامشين
• لا شيء بعد، فيلزم فحص الخانات كلّها

يكتب الكتاب صفحة 168 في مثاله: $p_0\times p_2=\frac{1}{\mathrm{8<!--\; -->1}}$. بحساب الهوامش $p_0=\frac{1}{9}$ و$p_2=\frac{4}{9}$ و$p_2^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{9}$. ما الحكم؟

• الجداء المكتوب صحيح، و$p_2=\frac{1}{9}$
• الجداء خطأ كلّه، والصواب $\frac{4}{\mathrm{8<!--\; -->1}}$
• سقطت شرطةٌ في الطبع، والمقصود $p_0\times p_2^{\mathrm{\prime }}$