الاحتمالات المشروطةالتحليل التوافقي والاحتمالات

في شجرة المدرسة، العدد $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7}$ مكتوبٌ على الفرع الذي يخرج من $G$ ويصل إلى $E$. ماذا يعني؟

• $\mathbb{P}(E)$، أي نسبة المقيمين عند أسرهم في المدرسة كلّها
• $\mathbb{P}(G\cap E)$، أي نسبة الإناث المقيمات عند أسرهنّ في المدرسة كلّها
• $\mathbb{P}(E\mid G)$، أي نسبة المقيمات عند أسرهنّ بين الإناث

متى يكون التعبير $\mathbb{P}(A\mid B)$ غير معرّفٍ أصلاً؟

• حين يكون $\mathbb{P}(A)=0$
• حين يكون $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$
• حين يكون $\mathbb{P}(B)=0$

صندوقٌ فيه ثلاث كرات بيضاء وكرتان سوداوان. نسحب كرتين دون إعادة. ما احتمال أن تكون الأولى بيضاء والثانية سوداء؟

• $\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$
• $\frac{3}{5}+\frac{2}{4}=\frac{\mathrm{1<!--\; -->1}}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$
• $\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{\mathrm{2<!--\; -->5}}$

في شجرةٍ بمرحلتين، المرحلة الأولى فيها ثلاثة فروعٍ ومن كلّ عقدةٍ منها يخرج فرعان. ما مجموع الأعداد الستّة المكتوبة على فروع المرحلة الثانية؟

• $1$
• $3$
• $2$، لأنّ من كلّ عقدةٍ يخرج فرعان

في معملٍ ورشتان $A$ و$B$. من طلبٍ قدره $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}$ مصباح صنعت $A$ منها $\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0<!--\; -->0}$ وصنعت $B$ البقيّة. ونسبة $4\mathrm{\%}$ من مصابيح $A$ معطوبة و$3\mathrm{\%}$ من مصابيح $B$. وليكن $D$ حدث «المصباح معطوب». ما $\mathbb{P}(D)$ لمصباحٍ مسحوبٍ عشوائيّاً؟

• $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7}$
• $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->6}$
• $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->5}$

حدثان $A$ و$B$ في تجربةٍ واحدة، $\mathbb{P}(A)=\frac{1}{3}$ و$\mathbb{P}(B)=\frac{1}{4}$ و$\mathbb{P}(A\cap B)=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}$. ماذا تستنتج؟

• أنّهما منفصلان
• أنّهما مستقلّان احتمالياً
• أنّهما منفصلان ومستقلّان معاً

في مثال الصندوقين، حسبنا $\mathbb{P}(B\mid U_1)=\frac{1}{3}$ و$\mathbb{P}(U_1\mid B)=\frac{5}{\mathrm{1<!--\; -->1}}$. أيّ العبارتين يصف الفرق بينهما؟

• الأوّل يسأل عن لون الكرة والصندوق معلوم، والثاني يسأل عن الصندوق واللون معلوم
• هما العدد نفسه، والفرق في ترتيب الكتابة فقط
• الأوّل مشروطٌ والثاني غير مشروط

في مسألة المعمل نفسها، سُحب مصباحٌ فوُجد معطوباً. ما احتمال أن يكون من الورشة $A$؟

• $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}$
• $\frac{2}{3}$
• $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$

إذا كان $\mathbb{P}(A)=\frac{1}{3}$ و$\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{1}{4}$ و$\mathbb{P}(B\mid A^{\mathrm{\prime }})=\frac{4}{5}$، فما $\mathbb{P}(B)$؟

• $\frac{\mathrm{3<!--\; -->7}}{\mathrm{6<!--\; -->0}}$
• $\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}$
• $\frac{\mathrm{2<!--\; -->1}}{\mathrm{2<!--\; -->0}}$