ورقة تمارين: الاحتمالات المشروطة

سلّم التصحيح

1. 1. ج نعم. كلّ عددٍ على فرعٍ في المرحلة الثانية مشروطٌ بالعقدة التي خرج منها. والاختبار الذي يفصل: انظر إلى العقدة الأخرى، فعلى فرعها المقابل $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}$ لا $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7}$. ولو كان العددان غير مشروطين لوجب أن يتساويا، فكلاهما سيكون $\mathbb{P}(E)$ نفسه. اختلافهما هو الدليل على أنّ لكلٍّ منهما مرجعاً آخر.
2. 2. ج نعم، وبهذا يبدأ تعريف 1 في الكتاب: «ليكن $B$ حدثاً يُحقّق $\mathbb{P}(B)\mathrm{\ne }0$». والمعنى قبل الصيغة: لا يُشترط بحدثٍ مستحيلٍ أصلاً، فلا معنى لأن تقول «علماً أنّه وقع» عن شيءٍ لا يقع.
3. 3. أ نعم. مسارٌ واحدٌ من الجذر، فالضرب. والعدد الثاني $\frac{2}{4}$ لا $\frac{2}{5}$، لأنّ كرةً بيضاء خرجت ولم تعُد، فبقيت أربع كرات فيها السوداوان.
4. 4. ب نعم. ثلاث عُقَدٍ في المرحلة الثانية، وعند كلّ واحدةٍ يجمع فرعاها إلى واحد، فالمجموع ثلاثة. وهذا بعينه ما تراه في شجرة الكرات: تسعة فروعٍ من ثلاث عُقَد، ومجموعها ثلاثة.
5. 5. ب نعم، وهذه مبرهنة 2 بعينها. $\mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$ و$\mathbb{P}(B)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}$، ثمّ $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}+\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->1<!--\; -->2}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->6}$. والجواب أقرب إلى $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}$ منه إلى $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}$، لأنّ الورشة $A$ أكبر.
6. 6. ب نعم. $\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}$، وهو بالضبط $\mathbb{P}(A\cap B)$، فتعريف 2 متحقّق. وبالقراءة الأخرى: $\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{1\mathrm{/}\mathrm{1<!--\; -->2}}{1\mathrm{/}3}=\frac{1}{4}=\mathbb{P}(B)$، أي إنّ معرفة $A$ لم تغيّر شيئاً.
7. 7. أ نعم، وهذا هو كلّ الفرق. المشروط به هو ما تعرفه، لا ما وقع أوّلاً في الزمن. ولهذا كان الثاني أصعب: يمشي عكس اتّجاه الشجرة، ويُحسب بمسارٍ واحدٍ مقسوماً على مجموع المسارات.
8. 8. ب نعم. مسارٌ واحدٌ على مجموع المسارات: $\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->4}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->6}}=\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3<!--\; -->6}}=\frac{2}{3}$. ولاحظ أنّه أكبر من $\mathbb{P}(A)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$، وهذا معقول: العطب خبرٌ يرجّح الورشة الأكثر عطباً والأكبر إنتاجاً.
9. 9. أ نعم. الحدثان $A$ و$A^{\mathrm{\prime }}$ تجزئةٌ لـ$\mathrm{\Omega }$، فمبرهنة 2 تنطبق: $\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}+\frac{8}{\mathrm{1<!--\; -->5}}=\frac{5}{\mathrm{6<!--\; -->0}}+\frac{\mathrm{3<!--\; -->2}}{\mathrm{6<!--\; -->0}}=\frac{\mathrm{3<!--\; -->7}}{\mathrm{6<!--\; -->0}}$. ولا تنسَ أنّ $\mathbb{P}(A^{\mathrm{\prime }})=1-\frac{1}{3}$.
10. 10. ج نعم. أوّلاً $\mathbb{P}(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$، ثمّ $\frac{1\mathrm{/}6}{1\mathrm{/}2}=\frac{1}{3}$. ولاحظ الطرح: الاجتماع لا يساوي مجموع الاحتمالين إلا عند الانفصال. ولاحظ أيضاً أنّ الجواب يساوي $\mathbb{P}(B)$، فالحدثان مستقلّان.
11. 11. ج نعم. امشِ على التجزئة بحسب الجنس: عدم الممارسة عند الذكور يعطي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->5}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->3}$، وعدم الممارسة كلّه $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7}$، فحصّة الإناث منه $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7}-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->3}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7}$. ومرجع المقارنة هو الإناث، أي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}$، فالجواب $\frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->7}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->2<!--\; -->5}$.
12. 12. أ نعم. $\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{1}{\mathrm{3<!--\; -->0}}$. وانتبه إلى العامل الأخير: في SOULS خمسة حروفٍ وفيها $S$ مرّتين، فالبسط اثنان. المقام عدد الأوراق والبسط عدد الأوراق المواتية.