الدرس 5: مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ

التمرين الثاني من امتحان 2017، الدورة الثانية

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2017، الدورة الثانية، الفرع العلميّ

$A B C D$ رباعي وجوه، و $a$ عددٌ حقيقي. $I$ و $J$ هما، بالترتيب، منتصفا $[A B]$ و $[C D]$ . و $E$ و $F$ نقطتان تحقّقان، العلاقتين: $\vec{A E} = a \vec{A D}$ و $\vec{B F} = a \vec{B C}$ . وأخيراً $H$ هي منتصف $[E F]$ .

رباعي الوجوه

A B C D

، والنقطتان

I

J

منتصفا

[A B]

[C D]

، و

H

منتصف

[E F]

. رُسمت النقطتان

E

F

من أجل

a = \frac{1}{3}

، فتقع

E

على

[A D]

F

على

[B C]

المطلوب:

أثبت أنّ $I$ و $J$ و $H$ تقع على استقامة واحدة.

المعاملات: من $\vec{B F} = a \vec{B C}$ تأخذ $B$ المعامل $1 - a$ وتأخذ $C$ المعامل $a$ ، لا العكس. ومن بدّلهما حسب مركز $(B, a)$ و $(C, 1 - a)$ ، ولنسمّه $F^{'}$ ، وهو يحقّق $\vec{B F^{'}} = (1 - a) \vec{B C}$ ، فهو غير $F$ إلّا عند $a = \frac{1}{2}$ . وللتحقّق: عند $a = 0$ يجب أن تنطبق $F$ على $B$ .

التجميع: $I$ تنوب عن $(A, 1 - a)$ و $(B, 1 - a)$ ، فتدخل بمجموع معاملَيهما $2 - 2 a$ ، و $J$ بالمعامل $2 a$ ، لا بالمعامل $1$ . ومن أعطى كلّاً منهما المعامل $1$ جعل $H$ منتصف $[I J]$ ، وهذا لا يصحّ إلّا عند $a = \frac{1}{2}$ ، فالصحيح $\vec{I H} = a \vec{I J}$ . وشرط التجميع ألّا يكون مجموع المعاملات المجمّعة معدوماً، ولهذا استُثني $a = 0$ و $a = 1$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

أثبت أنّ $I$ و $J$ و $H$ تقع على استقامة واحدة.(60 درجةً)
النقطة Fالدرجة: 5+5
ندخل $F$ في $\vec{B C}$ بعلاقة شال، $\vec{B C} = \vec{B F} + \vec{F C}$ ، ثمّ ننقل الحدود إلى طرفٍ واحد ونضرب بـ $- 1$ :
$\begin{array}{c} \vec{B F} = a \vec{B F} + a \vec{F C} \\ (1 - a) \vec{F B} + a \vec{F C} = \vec{0} \end{array}$
ومجموع المعاملين $(1 - a) + a = 1$ غير معدوم، فالنقطة $F$ مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين $(B, 1 - a)$ و $(C, a)$ .
النقطة Eالدرجة: 5+5
وبالطريقة نفسها من $\vec{A E} = a \vec{A D}$ :
$(1 - a) \vec{E A} + a \vec{E D} = \vec{0}$
فالنقطة $E$ مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين $(A, 1 - a)$ و $(D, a)$ ، ومجموع معاملَيهما $1$ .
النقطة Hالدرجة: 5+5
$H$ منتصف $[E F]$ ، فهي مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين $(E, 1)$ و $(F, 1)$ :
$\vec{H E} + \vec{H F} = \vec{0}$
الرؤوس الأربعة
النقطة $E$ تنوب عن $(A, 1 - a)$ و $(D, a)$ بمجموع معاملَيهما $1$ ، و $F$ تنوب عن $(B, 1 - a)$ و $(C, a)$ بمجموع $1$ . ومجموع المعاملات الأربعة $2$ غير معدوم، فبالخاصّة التجميعيّة، في الملاحظة التي تلي المبرهنة 8 في درس «مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ»، مركزُ الرؤوس الأربعة هو مركز $(E, 1)$ و $(F, 1)$ ، أي $H$ . فالنقطة $(H, 2)$ مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط:
$\begin{array}{c} (A, 1 - a), (B, 1 - a), \\ (C, a), (D, a) \end{array}$
النقطة Iالدرجة: 5+5
نجمّع الرؤوس الآن مثنى مثنى بطريقةٍ أخرى. إذا كان $a \neq 1$ كان مجموع معاملَي $(A, 1 - a)$ و $(B, 1 - a)$ هو $2 - 2 a \neq 0$ ، ومركزهما منتصف $[A B]$ لأنّ المعاملين متساويان، أي $I$ :
$(I, 2 - 2 a)$
النقطة Jالدرجة: 5+5
وإذا كان $a \neq 0$ كان مجموع معاملَي $(C, a)$ و $(D, a)$ هو $2 a \neq 0$ ، ومركزهما منتصف $[C D]$ ، أي $J$ :
$(J, 2 a)$
ويطبع السلّم في هذا السطر النقطتين $(B, a)$ و $(C, a)$ ، والصواب $(C, a)$ و $(D, a)$ ، لأنّ $J$ منتصف $[C D]$ .
التجميعالدرجة: 5
وبالخاصّة التجميعيّة نفسها يكون مركز الرؤوس الأربعة، أي $H$ ، مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين $(I, 2 - 2 a)$ و $(J, 2 a)$ :
$(2 - 2 a) \vec{H I} + 2 a \vec{H J} = \vec{0}$
وفي الحالتين المستثناتين النتيجة مباشرة: عند $a = 0$ تنطبق $E$ على $A$ و $F$ على $B$ ، فـ $H = I$ ، وعند $a = 1$ تنطبق $E$ على $D$ و $F$ على $C$ ، فـ $H = J$ . ونقطتان منطبقتان تقعان مع أيّ نقطةٍ ثالثة على استقامة واحدة.
الجوابالدرجة: 5
$H$ مركز الأبعاد المتناسبة لنقطتين فقط هما $I$ و $J$ ، فهي على المستقيم $(I J)$ : النقاط $I$ و $J$ و $H$ تقع على استقامة واحدة. وبالأشعّة، إذا كتبنا $\vec{H J} = \vec{H I} + \vec{I J}$ في العلاقة السابقة صارت $2 \vec{H I} + 2 a \vec{I J} = \vec{0}$ ، أي:
$\vec{I H} = a \vec{I J}$
وفي السلّم طريقةٌ ثانية بعلاقة شال، لكلّ سطرٍ منها 5: $\vec{I H} = \vec{I A} + \vec{A E} + \vec{E H}$ ، و $\vec{I H} = \vec{I B} + \vec{B F} + \vec{F H}$ ، وبالجمع $2 \vec{I H} = \vec{A E} + \vec{B F}$ ، ثمّ $2 \vec{I H} = a \vec{A D} + a \vec{B C}$ ، أي $2 \vec{I H} = a (\vec{A D} + \vec{B C})$ ، وبالطريقة نفسها ثلاثة أسطر تنتهي إلى $2 \vec{I J} = \vec{A D} + \vec{B C}$ ، فـ $\vec{I H} = a \vec{I J}$ ، والشعاعان مرتبطان خطّياً. أسطرها عشرة، فمجموعها 50، ويطبع السلّم «المجموع 60». وهذه الطريقة لا تحتاج إلى استثناء $a = 0$ و $a = 1$ . وطريقةٌ ثالثة بالإحداثيّات في المعلم $(B; \vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B A})$ (5): $D (0, 1, 0)$ و $A (0, 0, 1)$ و $B (0, 0, 0)$ و $F (a, 0, 0)$ $(2 \times 5)$ ، ثمّ $E (0, a, 1 - a)$ من $\vec{A E} = a \vec{A D}$ (5 و $2 \times 3$ و $2 \times 3$ )، و $I (0, 0, \frac{1}{2})$ و $J (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ ومركّبات $\vec{I J}$ $(3 \times 3)$ ، ثمّ $H$ منتصف $[E F]$ ومركّبات $\vec{I H} (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, - \frac{a}{2})$ ( $2 \times 3$ ، والقانون 3)، والمركّبات متناسبة فالشعاعان مرتبطان خطّياً والنقاط على استقامة واحدة (5+5).