المسافة في الفراغالهندسة الفراغية

الكتاب يبدأ الصفحة بوضعٍ صامت: أربع نقاط $O$ و$I$ و$J$ و$K$، ومنها الأشعّة $\overrightarrow{OI}=\vec{i}$ و$\overrightarrow{OJ}=\vec{j}$ و$\overrightarrow{OK}=\vec{k}$. لا برهان ولا تعليل، مجرّد تسمية. لكنّها تسميةٌ لازمة: الشرطان الآتيان يتكلّمان عن مستقيماتٍ وعن أطوال، وكلاهما يحتاج نقاطاً لا أشعّةً مجرّدة.

انتبه: الكتاب يكتب «الشّرطان» بصيغة المثنّى، فهما شرطان معاً لا أحدهما. التعامد وحده لا يكفي: ثلاثة أشعّة متعامدة أطوالها $2$ و$3$ و$5$ تصلح أساساً ولا تصلح معلماً متجانساً. وطول الوحدة وحده لا يكفي: ثلاثة أشعّة طول كلٍّ منها $1$ قد تكون مائلة بعضها على بعض. وانتبه إلى «مثنى»: المطلوب ثلاثة تحقّقات لا اثنان، لأنّ للأشعّة الثلاثة ثلاثة أزواج.

تذكّر: معلم الدرس السابق $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AI})$ لم يصر خطأً الآن، وهو ما زال معلماً صحيحاً تماماً. لكنّه في الغالب ليس متجانساً، لأنّ أحرف متوازي السّطوح لا تُلزَم بزاويةٍ ولا بطول. النتيجة عمليّة: في ذلك المعلم تحسب الإحداثيّات ولا تحسب الأطوال. اقرأ صدر أيّ مبرهنةٍ قبل أن تستعملها.

الآن يأتي ربح الشرط. الصيغتان الآتيتان هما كلّ ما تحتاجه لحساب طولٍ في الفراغ، والثانية ليست جديدةً بل هي الأولى مطبَّقةً على $\overrightarrow{AB}$.

انتبه: الكتاب يضع «في معلمٍ متجانس» بخطٍّ غليظٍ أزرق في صدر المبرهنة، وهذا ليس زخرفاً. $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ليست صيغةً عامّة، بل نتيجةُ كون الأساس متعامداً ووحدويّ الأطوال. في معلمٍ مائل هي خاطئة، لا ناقصة.

تذكّر: برهان الكتاب يكتب سطراً واحداً: «$O{N}^2=a^2+b^2$ و$N{M}^2=c^2$». الثانية قراءةٌ مباشرة، أمّا الأولى فهي فيثاغورس نفسه، مطبَّقاً في المستوي $(O;\vec{i},\vec{j})$، ولا يقول الكتاب ذلك. ثمّ يأتي فيثاغورس مرّةً ثانية في المثلّث $ONM$ القائم في $N$، فيكون $O{M}^2=O{N}^2+N{M}^2=a^2+b^2+c^2$. فيثاغورس مرّتان، مذكورٌ مرّةً واحدة.

انتبه: في هذا البرهان وحده تظهر الأقواس أربع مرّاتٍ بأربعة معانٍ: $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ معلم بثلاثة أشعّة، و$(O;\vec{i},\vec{j})$ مستوٍ بشعاعين، و$(O;\vec{k})$ مستقيمٌ بشعاعٍ واحد، و$(NM)$ مستقيمٌ بنقطتين. العلامة نفسها، والمُميِّز الوحيد هو عدد ما بداخل القوس. وانتبه أيضاً إلى الفاصلة المنقوطة: هي تفصل المبدأ عن الأساس، وليست فاصلةً بين مركّبات.

التطبيق المباشر لا يحتاج شرحاً: إذا كان $\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$، فمركّباته $(3,-2,1)$ ونظيمه $\sqrt{9+4+1}=\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->4}}$. وإذا كانت $A(4,-1,3)$ و$B(2,3,-2)$، فإنّ $AB=\sqrt{(-2{)}^2+4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->5}}$. ما يحتاج انتباهاً هو ما يحدث بعد الجذر.

انتبه: ثلاثة أخطاء تتكرّر هنا. الأوّل: النظيم ليس مجموع المركّبات؛ $\vec{u}(2,-2,3)$ نظيمه $\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->7}}$ لا $3$. الثاني: المركّبة الغائبة صفرٌ، لا عدم؛ $\vec{v}=\vec{i}+5\vec{k}$ مركّباته $(1,0,5)$ وفي الفراغ لكلّ شعاعٍ ثلاثة أعداد. الثالث: ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->3}}}{3}}$ ليس $\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->1}}$؛ الاختصار داخل الجذر يعطي $\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{4<!--\; -->1}}{3}}}$، وهو العدد نفسه. أمّا $\sqrt{\mathrm{4<!--\; -->1}}$ فشيءٌ آخر تماماً.

المثال الآتي هو قلب الدرس، لأنّه يفعل شيئاً لا تفعله الصيغة وحدها: يترجم ستّة أعدادٍ إلى وصفٍ هندسيّ. لا رسم في الكتاب هنا، والأعداد وحدها هي التي تقرّر الشكل.

في آخر الدرس يستعمل الكتاب مفهومين لم يعرّفهما في متن الدرس: «الكرة» و«المستوي المحوري». كلاهما يظهر في حاشيةٍ بجانب مصباح، لا في إطار تعريف. وهما في الحقيقة الفكرة نفسها مرّتين: مجموعةُ نقاطٍ يُحدّدها شرطٌ على المسافة.

تذكّر: والفكرة نفسها تعطي المفهوم الثاني: المستوي المحوري للقطعة $[AB]$ هو مجموعة النّقاط التي تبعد عن طرفيها المسافة نفسها، أي $\left\{M\right|MA=MB\}$. في المستوي كان هذا مستقيماً، أمّا في الفراغ فهو مستوٍ كامل، والاسم نفسه يقوله. وفي الاختبار نقارن $M{A}^2$ بـ$M{B}^2$ ولا نُجذّر، لأنّ المسافتين موجبتان فتساوي مربّعيهما يكافئ تساويهما.