الدرس 3: الكتابة العقديّة للتحويلات الهندسيّة

التمرين الثالث من امتحان 2017، الدورة الثانية

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2017، الدورة الثانية، الفرع العلميّ

لتكن النقطة $M$ التي يمثلها العدد العقدي $z = - 1 + i$ .

المطلوب:

1.اثبت أن $z^{8}$ عدداً حقيقياً.
2.جد العدد العقدي $z^{'}$ الممثل للنقطة $M^{'}$ صورة $M$ وفق دوران مركزه $A (1 + i)$ وزاويته $\frac{π}{4}$ وأكتبه بالشكل الأسي.

اختصار: يكفي أن نصل إلى $z^{4}$ : من $z^{2} = - 2 i$ يأتي $z^{4} = (- 2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ ، وهو حقيقيّ، فمربّعه $z^{8} = 16$ حقيقيّ أيضاً.

المركز: مركز الدوران هنا $A$ لا المبدأ $O$ ، فالكتابة $z^{'} = e^{i θ} z$ لا تصلح. ومن كتب $z^{'} = e^{i \frac{π}{4}} z$ وجد $z^{'} = - \sqrt{2}$ ، وهو العدد الممثّل لصورة $M$ بالدوران حول $O$ ، لا حول $A$ .

الطويلة: الكتابة $(- 2 + \sqrt{2}) e^{i \frac{π}{4}}$ تساوي $z^{'}$ ، لكنّها ليست شكلاً أسّيّاً، لأنّ المعامل في الشكل الأسّيّ $r e^{i θ}$ موجبٌ تماماً، و $- 2 + \sqrt{2} < 0$ . ومن قرأ منها طويلةً $- 2 + \sqrt{2}$ وزاويةً $\frac{π}{4}$ أخطأ في الاثنتين: الطويلة $2 - \sqrt{2}$ ، والزاوية $\frac{5 π}{4}$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. اثبت أن $z^{8}$ عدداً حقيقياً.(20 درجةً)
قوّة المربّعالدرجة: 5
نكتب $z^{8}$ قوّةً رابعةً لمربّع $z$ ، فلا نحتاج إلّا إلى نشر مربّع:
$z^{8} = {(z^{2})}^{4} = {((- 1 + i)^{2})}^{4}$
نشر المربّعالدرجة: 5
$(- 1 + i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2}$ ، و $i^{2} = - 1$ :
$z^{8} = (1 - 2 i - 1)^{4}$
الجوابالدرجة: 2+3+5
ما بين القوسين $- 2 i$ ، و $i^{4} = {(i^{2})}^{2} = 1$ :
$\begin{array}{c} z^{8} = (- 2 i)^{4} = 16 i^{4} \\ = 16 \end{array}$
فـ $z^{8} = 16$ عددٌ حقيقيّ. وفي السلّم طريقةٌ ثانية بالشكل الأسّيّ، بالدرجات نفسها: طويلة $z$ هي $r = \sqrt{2}$ (2)، وزاويته $θ = \frac{3 π}{4}$ (2)، فـ $z = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ (4)، ثمّ $z^{8} = {(\sqrt{2})}^{8} e^{i 8 \cdot \frac{3 π}{4}}$ (2+2+2)، أي $16 e^{i 6 π} = 16$ (2+2+2).
2. جد العدد العقدي $z^{'}$ الممثل للنقطة $M^{'}$ صورة $M$ وفق دوران مركزه $A (1 + i)$ وزاويته $\frac{π}{4}$ وأكتبه بالشكل الأسي.(40 درجةً)
العلاقةالدرجة: 10
الدوران الذي مركزه $Ω$ وزاويته $θ$ صيغته العقديّة كما في المبرهنة 5 من درس «الكتابة العقديّة للتحويلات الهندسيّة»، الجزء الثاني، حيث $ω$ العدد الممثّل للمركز. هنا المركز $A$ ، ونسمّي العدد الممثّل له $a = 1 + i$ ، والزاوية $θ = \frac{π}{4}$ :
$\begin{array}{c} z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω) \\ z^{'} - a = e^{i \frac{π}{4}} (z - a) \end{array}$
التعويضالدرجة: 5
نعوّض $z = - 1 + i$ و $a = 1 + i$ ، ونضيف $a$ إلى الطرفين:
$z^{'} = e^{i \frac{π}{4}} (- 1 + i - 1 - i) + 1 + i$
التبسيطالدرجة: 5
ما بين القوسين هو $z - a = - 2$ :
$z^{'} = e^{i \frac{π}{4}} (- 2) + 1 + i$
الحدّ الثانيالدرجة: 5
طويلة $1 + i$ هي $\sqrt{2}$ ، وزاويته $\frac{π}{4}$ ، فـ $1 + i = \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$ :
$z^{'} = - 2 e^{i \frac{π}{4}} + \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$
العامل المشتركالدرجة: 5
نُخرج $e^{i \frac{π}{4}}$ عاملاً مشتركاً:
$z^{'} = (- 2 + \sqrt{2}) e^{i \frac{π}{4}}$
إشارة المعاملالدرجة: 5
لكنّ $\sqrt{2} < 2$ ، فالمعامل $- 2 + \sqrt{2}$ سالب، والشكل الأسّيّ يشترط معاملاً موجباً تماماً. نُخرج إشارة الناقص:
$z^{'} = - (2 - \sqrt{2}) e^{i \frac{π}{4}}$
إدخال الإشارةالدرجة: 3
و $- 1 = e^{i π}$ :
$z^{'} = (2 - \sqrt{2}) e^{i \frac{π}{4}} e^{i π}$
وفي السلّم المطبوع هذا السطر $(- 2 + \sqrt{2}) e^{i \frac{π}{4}} e^{π}$ ، وهو خطأٌ طباعيّ: المعامل $2 - \sqrt{2}$ ، والأسّ $i π$ لا $π$ .
الجوابالدرجة: 2
جداء عددين بالشكل الأسّيّ تُجمع فيه الزاويتان، و $\frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4}$ ، والمعامل $2 - \sqrt{2}$ موجبٌ تماماً:
$z^{'} = (2 - \sqrt{2}) e^{i \frac{5 π}{4}}$
وهذا هو الشكل الأسّيّ: الطويلة $2 - \sqrt{2}$ والزاوية $\frac{5 π}{4}$ ، ويصحّ أن تكون الزاوية $- \frac{3 π}{4}$ أيضاً، فالزاويتان تختلفان بـ $2 π$ . تحقّق بالشكل الجبريّ: $z^{'} = (1 - \sqrt{2}) (1 + i)$ ، وطويلته $\sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) = 2 - \sqrt{2}$ .