مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغالهندسة الفراغية

يمرّ الكتاب على التعميم في سطر: «يُعمَّم تعريف مركز الأبعاد المتناسبة الّذي درسناه في الصّفّ الثّاني الثّانوي إلى حالة الفراغ دون عناء»، ثمّ يضيف «سنهتمُّ إذن بمركز جملة مؤلّفة من أربع نقاط». النقطتان والثلاث ليستا جديدتين، والأربع هي الدرس.

تذكّر: الوجود والوحدانيّة لا يُبرهنان هنا. الكتاب يكتب صراحةً: «إنَّ إثبات وجود ووحدانيّة النّقطة $G$، مماثلٌ تماماً لحالة ثلاث نقاط». هذا تصريحٌ بالإحالة لا برهان، وهو أنظف من برهانٍ يدّعي أكثر ممّا يُظهر. إن أردت التأكّد، أعد برهان النّقاط الثلاث بإضافة حدٍّ رابع؛ الخطوات هي هي.

انتبه: انتبه إلى ما ليس ممنوعاً. كلّ معاملٍ على حدة يجوز أن يكون سالباً، ويجوز أن يكون معدوماً. المثال المحلول في آخر الدرس يستعمل $-2$ بلا تحفّظ، ومجموع معاملاته $1+(-2)+3=2$. الممنوع الوحيد أن يكون المجموع معدوماً، وعندها لا وجود لـ$G$ أصلاً. احسب المجموع قبل أن تنطق بعبارة «مركز الأبعاد المتناسبة».

التعريف يضع $G$ في طرف الأشعّة كلّها، وهذا لا ينفع في الحساب لأنّ $G$ هي المجهول. المبرهنة الآتية تحرّر نقطة البداية، وهي لذلك أداة العمل في كلّ تمرينٍ من تمارين هذا الدرس.

تذكّر: «أياً كانت النقطة $M$» هي أقوى ما في المبرهنة، لا تفصيلاً فيها. $M$ ليست معطىً في المسألة بل اختياراً منك، وحسن الاختيار يختصر الحلّ: خذ $M=A$ لتحذف الحدّ الأوّل، أو $M=O$ إن كنت في معلمٍ وتريد إحداثيّات، أو $M=G$ لتعود إلى التعريف. الحدّ الذي تختار بدايته يصير $\vec{0}$ ويسقط.

المبرهنة الآتية هي التي تجعل مسائل الفراغ قابلةً للحلّ: تسمح لك بأن تستبدل بثلاثٍ من النّقاط الأربع نقطةً واحدة. لكنّ فيها تفصيلاً يقرّر كلّ ما بعده.

انتبه: هنا يقع الخطأ الأكثر كلفةً في الدرس كلّه: $H$ ترث مجموع معاملات الثلاثة، أي $\alpha +\beta +\gamma$، ولا تأخذ المعامل $1$. في مثال رباعي الوجوه تصير $G^{\mathrm{\prime }}$ هي $(G^{\mathrm{\prime }},3)$ لا $(G^{\mathrm{\prime }},1)$، لأنّها تنوب عن ثلاث نقاطٍ معامل كلٍّ منها $1$. ومن يضع $1$ يحصل على منتصف $[G^{\mathrm{\prime }}D]$ بدل ربعه، ويبني كلّ ما بعده على موضعٍ خاطئ.

تذكّر: وثمّة شرطٌ لا تجده في نصّ المبرهنة: لكي توجد $H$ أصلاً، لا بدّ أن يكون $\alpha +\beta +\gamma \mathrm{\ne }0$. المبرهنة تشترط المجموع الرباعيّ فقط. الشرط الثلاثيّ مختبئٌ في أنّ $H$ سُمّيت «مركز الأبعاد المتناسبة»، وهذا الاسم يفترض ألّا يكون مجموع المعاملات معدوماً، كما تقول ملاحظة الكتاب بعد مبرهنة 7: «عندما نقول إنَّ $G$ هي مركز الأبعاد المتناسبة لنقاط مثقّلة، فإنَّ قولنا هذا يفترض أنَّ مجموع المعاملات أو الأمثال لا يساوي الصّفر». فإن سقط، اجمع ثلاثاً أخرى: لك أربع طرقٍ للتجميع، ويكفي أن تصلح واحدة.

تذكّر: ولتكن $I$ منتصف $[AD]$ و$J$ منتصف $[BC]$، أي حرفين متقابلين. عندئذ $I$ مركز $(A,1)$ و$(D,1)$، و$J$ مركز $(B,1)$ و$(C,1)$، فبالتجميع بالأزواج تصير $G$ مركز $(I,2)$ و$(J,2)$، أي منتصف $[IJ]$. والحساب نفسه يمشي على الزوجين الآخرين من الأحرف المتقابلة: القطع الثلاث الواصلة بين منتصفات الأحرف المتقابلة متناصفة كلّها، ونقطة التقائها هي $G$.

يسأل الكتاب في آخر الدرس: «ماذا يفيد مفهوم مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ؟» ويجيب بثلاثة أسطر: يفيد في إثبات وقوع نقاطٍ على استقامة واحدة، وفي إثبات وقوعها في مستوٍ واحد، وفي إثبات تقاطع مستقيمات. والثلاثة طريقةٌ واحدة تُقرأ من عدد النقاط الباقية.

تذكّر: إن انتهيتَ إلى $G$ مركز نقطتين، فقد أثبتّ الاستقامة. وإن انتهيتَ إلى $G$ مركز ثلاث نقاط، فقد أثبتّ الاستواء فقط، ولا يجوز أن تدّعي أكثر. الفرق ليس في قوّة البرهان بل في ما يعيّنه العدد: نقطتان تعيّنان مستقيماً، وثلاثٌ تعيّن مستوياً.

انتبه: الحرف $G$ في هذا الدرس يدلّ على شيئين مختلفين، وبينهما صفحةٌ واحدة: في مثال رباعي الوجوه هو مركز الثقل، وفي مثال المكعّب هو رأسٌ من رؤوس المجسّم، وهو الذي يظهر في $3\overrightarrow{AG}$ داخل الفرض. اقرأ في كلّ تمرينٍ تعريف الحروف من جديد ولا تحملها من تمرينٍ إلى آخر. وهي الفخّ نفسه الذي وقع فيه الحرف $I$ في الدرس الثاني.