المسألة الثالثة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. كم يُصبِحُ تواتُرُ صوتِه الأساسيّ إذا نقصَ طولُ الوتر حتّى النّصف $(L^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{L}{2}})$ وازدادَت قوَّةُ الشّدّ حتّى مثلَيها $(F_T^{\mathrm{\prime }}=2F_T)$.

   العلاقة

   تواتر الصوت الأساسيّ لوترٍ مشدود، والكتلة الخطيّة $\mu$ لا تتغيّر بقصّ الوتر:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f_1={\displaystyle \frac{1}{2L}}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T}{\mu }}}}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{f_1^{\mathrm{\prime }}}{f_1}}={\displaystyle \frac{L}{L^{\mathrm{\prime }}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_T^{\mathrm{\prime }}}{F_T}}}}\end{array}$$

   التعويض

   $${\displaystyle \frac{f_1^{\mathrm{\prime }}}{f_1}}=2\sqrt{2}\Rightarrow f_1^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2<!--\; -->5<!--\; -->0}\times 2\sqrt{2}$$

   الجواب

   $$f_1^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}\sqrt{2}\approx \mathrm{7<!--\; -->0<!--\; -->7}\mathrm{H}\mathrm{z}$$