الارتباط الخطّي لثلاثة أشعّةالهندسة الفراغية

ماذا تعني عبارة «مرتبطة خطّياً» حين تُقال عن ثلاثة أشعّة؟

• أنّ كلّ اثنين منها مرتبطان خطّياً
• أنّها تقع في مستوٍ واحد
• أنّها تقع على منحىً واحد

في مبرهنة 3، لماذا اشتُرط ألّا تقع $A$ و$B$ و$C$ على استقامة واحدة؟

• لأنّ $(ABC)$ لا يكون مستوياً عندئذ، وتنكمش المجموعة إلى استقامة
• لأنّ الحساب يصير أطول
• لأنّ المجموعة تصير فارغة

في تعريف 2، هل النقطة $O$ نقطةٌ بعينها يجب إيجادها؟

• نعم، وإن أخطأت في اختيارها فشل البرهان
• لا، فإن صحّت الخاصّة عند نقطةٍ صحّت عند كلّ نقطة
• لا، ويجب أن تكون $O$ خارج المستوي

متى تُطبَّق مبرهنة 4، أي الصيغة $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$؟

• فقط إذا كانت الأشعّة الثلاثة غير صفريّة
• دائماً، فهي تكافئ التعريف
• فقط إذا كان $\vec{u}$ و$\vec{v}$ غير مرتبطين خطّياً

شعاعان من الثلاثة مرتبطان خطّياً وكلاهما غير صفريّ. ماذا نستنتج عن الثلاثة؟

• أنّها مرتبطة خطّياً مهما كان الشعاع الثالث
• لا شيء، إذ لا تنطبق مبرهنة 4
• أنّها غير مرتبطة خطّياً

في المثال المحلول، لماذا اختير $\overrightarrow{EF}$ و$\overrightarrow{BG}$ شعاعين مرجعيّين؟

• لأنّ $\overrightarrow{IJ}$ يساويهما
• لأنّهما الأقصر في الشكل
• لأنّهما متعامدان، فهما بالتأكيد غير مرتبطين خطّياً

$I$ منتصف $[BE]$. ما مجموع $\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IB}$؟

• $2\overrightarrow{IE}$
• $\vec{0}$
• $\overrightarrow{BE}$

في المكعّب $ABCDEFGH$، $I$ منتصف $[EF]$ و$J$ منتصف $[FG]$. أتنتمي $J$ إلى المستوي $(ABI)$؟

• لا، لأنّ $(ABI)$ هو مستوي الوجه $ABFE$، و$J$ خارجه
• لا يمكن الحكم من دون حساب
• نعم، لأنّ الثلاثة على الوجه العلويّ

$ABCD$ رباعي وجوه و$M$ تحقّق $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$. بم يساوي $\overrightarrow{AM}$ بدلالة $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{BC}$؟

• ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
• $\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}$
• ${\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$