الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: الارتباط الخطّي لثلاثة أشعّة

الأشعّة في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ماذا تعني عبارة «مرتبطة خطّياً» حين تُقال عن ثلاثة أشعّة؟
- أ)أنّ كلّ اثنين منها مرتبطان خطّياً
- ب)أنّها تقع في مستوٍ واحد
- ج)أنّها تقع على منحىً واحد
2. في مبرهنة 3، لماذا اشتُرط ألّا تقع $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة؟
- أ)لأنّ $(A B C)$ لا يكون مستوياً عندئذ، وتنكمش المجموعة إلى استقامة
- ب)لأنّ الحساب يصير أطول
- ج)لأنّ المجموعة تصير فارغة
3. في تعريف 2، هل النقطة $O$ نقطةٌ بعينها يجب إيجادها؟
- أ)نعم، وإن أخطأت في اختيارها فشل البرهان
- ب)لا، فإن صحّت الخاصّة عند نقطةٍ صحّت عند كلّ نقطة
- ج)لا، ويجب أن تكون $O$ خارج المستوي
4. متى تُطبَّق مبرهنة 4، أي الصيغة $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ ؟
- أ)فقط إذا كانت الأشعّة الثلاثة غير صفريّة
- ب)دائماً، فهي تكافئ التعريف
- ج)فقط إذا كان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ غير مرتبطين خطّياً
5. شعاعان من الثلاثة مرتبطان خطّياً وكلاهما غير صفريّ. ماذا نستنتج عن الثلاثة؟
- أ)أنّها مرتبطة خطّياً مهما كان الشعاع الثالث
- ب)لا شيء، إذ لا تنطبق مبرهنة 4
- ج)أنّها غير مرتبطة خطّياً
6. في المثال المحلول، لماذا اختير $\vec{E F}$ و $\vec{B G}$ شعاعين مرجعيّين؟
- أ)لأنّ $\vec{I J}$ يساويهما
- ب)لأنّهما الأقصر في الشكل
- ج)لأنّهما متعامدان، فهما بالتأكيد غير مرتبطين خطّياً
7. $I$ منتصف $[B E]$ . ما مجموع $\vec{I E} + \vec{I B}$ ؟
- أ) $2 \vec{I E}$
- ب) $\vec{0}$
- ج) $\vec{B E}$
8. في المكعّب $A B C D E F G H$ ، $I$ منتصف $[E F]$ و $J$ منتصف $[F G]$ . أتنتمي $J$ إلى المستوي $(A B I)$ ؟
- أ)لا، لأنّ $(A B I)$ هو مستوي الوجه $A B F E$ ، و $J$ خارجه
- ب)لا يمكن الحكم من دون حساب
- ج)نعم، لأنّ الثلاثة على الوجه العلويّ
9. $A B C D$ رباعي وجوه و $M$ تحقّق $\vec{A M} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{D C}$ . بم يساوي $\vec{A M}$ بدلالة $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ ؟
- أ) $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{B C}$
- ب) $\vec{A D} + \frac{3}{2} \vec{A B}$
- ج) $\frac{3}{2} \vec{A B} + \vec{B C}$
10. $A B C D$ رباعي وجوه، و $M$ تحقّق $\vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \vec{B C}$ . لماذا تنتمي $M$ إلى المستوي $(A B C)$ ؟
- أ)لأنّ المعاملين $\frac{3}{2}$ و $1$ موجبان
- ب)لأنّ $\vec{A M}$ كُتب بشعاعين من ذلك المستوي، وهما شعاعا توجيه للمستوي
- ج)لأنّ $M$ نقطة من رباعي الوجوه
11. في المكعّب $A B C D E F G H$ ، $M$ تحقّق $\vec{E M} = \frac{1}{3} \vec{E H}$ و $N$ تحقّق $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ . بم يساوي $\vec{M N}$ ؟
- أ) $\vec{E A} + \frac{1}{3} \vec{B D}$
- ب) $\vec{A E} + \frac{1}{3} \vec{D B}$
- ج) $\vec{E A} + \frac{1}{3} \vec{D B}$
12. لمستويين $P$ و $P^{'}$ شعاعا توجيه لكلٍّ منهما، أي أربعة أشعّة. أيّ ثلاثيّةٍ منها تُثبت توازي المستويين؟
- أ)شعاعا التوجيه من الأوّل مع شعاعٍ واحد من الثاني، مرّتين
- ب)ثلاثة أشعّة كلّها من المستوي الأوّل
- ج)شعاع من الأوّل وشعاعان من الثاني، بلا شرط

سلّم التصحيح

1. ب نعم، هذا نصّ تعريف 2. ولاحظ أنّ العبارة نفسها عند شعاعين تعني الوقوع على منحىً واحد. الكلمة واحدة والهندسة مختلفة.
2. أ نعم. بثلاث نقاط على استقامة واحدة يصير $\vec{A B}$ و $\vec{A C}$ مرتبطين خطّياً، فكلّ ما تصله منهما استقامة لا مستوٍ.
3. ب نعم. التعريف يطلب وجود نقطةٍ ما، والنصّ يضيف أنّ الخاصّة تنسحب على كلّ نقاط الفراغ. عمليّاً يُختار رأسٌ من رؤوس الشكل.
4. ج نعم. ولو كانا مرتبطين خطّياً لصارت التكافؤ خاطئة: يمكن أن ترتبط الأشعّة الثلاثة خطّياً بحكم الملاحظة من دون وجود $a$ و $b$ .
5. أ نعم، وهذا نصّ الملاحظة. النقاط $O$ و $A$ و $B$ على استقامة واحدة، ويوجد مستوٍ يحوي ذلك المستقيم والنقطة $C$ .
6. ج نعم، وهذا هو تبرير الكتاب حرفيّاً. التعامد ليس شرط المبرهنة، لكنّه يضمن الاستقلال بيقين ومن دون حساب.
7. ب نعم. المنتصف يجعل الشعاعين الخارجين منه إلى الطرفين متقابلين، فمجموعهما معدوم. هذه هي الخاصّة التي تجعل جمع السلسلتين ينفع.
8. أ نعم. النقاط $A$ و $B$ و $I$ كلّها على الوجه $A B F E$ ، و $J$ منتصف حرفٍ في الوجه العلويّ خارج ذلك المستوي.
9. ج نعم. بعلاقة شال $\vec{D C} = \vec{D A} + \vec{A C}$ ، فيسقط $\vec{A D}$ ، ويبقى $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$ . ثمّ $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$ .
10. ب نعم. $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ شعاعا توجيه للمستوي $(A B C)$ ، وكلّ نقطة $M$ تحقّق $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{B C}$ تقع فيه.
11. ج نعم. بسلسلة شال $\vec{M N} = \vec{M E} + \vec{E A} + \vec{A N}$ ، و $\vec{M E} = - \frac{1}{3} \vec{E H}$ ، ومجموع ما تبقّى هو $\frac{1}{3} \vec{D B}$ .
12. أ نعم. تُثبت أنّ $\vec{A B}$ و $\vec{A C}$ و $\vec{A^{'} B^{'}}$ مرتبطة خطّياً، ثمّ الشيء نفسه مع $\vec{A^{'} C^{'}}$ . عندئذ يقع شعاعا توجيه الثاني في مستوي الأوّل.