التمرين الأوّل من امتحان 2026

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. أثبت أنّ $\ln (x+1)\le \sqrt{x}$ وذلك أيّاً كانت $x\in [0,+\mathrm{\infty }[$.(20 درجةً)

   تشكيل التابعالدرجة: 10

   ننقل الحدّين إلى طرفٍ واحد، فيصير المطلوب دراسةَ إشارة تابعٍ نشكّله:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \ln (x+1)-\sqrt{x}\le 0}\\ {\displaystyle f(x)=\ln (x+1)-\sqrt{x}}\end{array}$$

   والتابع $f$ معرّفٌ ومستمرٌّ على $[0,+\mathrm{\infty }[$، لأنّ $x+1>0$ و$x\ge 0$ هناك.

   في سلّم التصحيح: «يمكن تشكيل المتراجحة $f(x)\le 0$ أو $f(x)\ge 0$»، أي يجوز أن نضع $f(x)=\sqrt{x}-\ln (x+1)$ ونثبت أنّه موجب.

   المشتقالدرجة: 3+3

   التابع $\sqrt{x}$ اشتقاقيٌّ على $]0,+\mathrm{\infty }[$ لا عند الصفر، فالتابع $f$ اشتقاقيٌّ على $]0,+\mathrm{\infty }[$. ومشتقّ $\ln u$ هو $\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}$، ومشتقّ $\sqrt{x}$ هو $\frac{1}{2\sqrt{x}}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2\sqrt{x}}}\\ {\displaystyle =\frac{2\sqrt{x}-x-1}{2\sqrt{x}(x+1)}}\\ {\displaystyle =\frac{-{(\sqrt{x}-1)}^2}{2\sqrt{x}(x+1)}}\end{array}$$

   لأنّ $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$، فالبسط $2\sqrt{x}-x-1$ هو معاكس ${\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}+1$، وهذا مربّعٌ كامل.

   الجدولالدرجة: 1+1+1

   المقام موجبٌ تماماً على $]0,+\mathrm{\infty }[$، والبسط سالبٌ تماماً إلّا عند $x=1$ حيث ينعدم. فالمشتق سالبٌ تماماً على $]0,1[$ وعلى $]1,+\mathrm{\infty }[$، ولا ينعدم إلّا عند نقطةٍ واحدة، والتابع $f$ مستمرٌّ عند الصفر. فـ$f$ متناقصٌ تماماً على $[0,+\mathrm{\infty }[$، و$f(0)=\ln 1-0=0$:

   $x$	$0$		$1$		$+\mathrm{\infty }$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$	$0$	$-$
   $f(x)$	$0$	$\searrow$	$-1+\ln 2$	$\searrow$

   خانة المشتق عند الصفر فارغة، لأنّ $f$ غير اشتقاقيٍّ هناك. ولا يحتاج الطلب إلى النهاية عند $+\mathrm{\infty }$.

   في سلّم التصحيح: «توافق بين الإشارة والأسهم». و«إذا كتب الطالب الجدول بالشكل» الذي فيه المشتق موجبٌ قبل $1$ والسهم صاعدٌ من $0$ إلى $-1+\ln 2$ «يخسر 3 درجات»، و«يخسر 3 درجات في حال عدم التوافق بين الأسهم والإشارة»، أي المشتق هنا لا يكون موجباً أبداً، والسهم يتبع إشارته.

   الجوابالدرجة: 1

   التابع $f$ متناقصٌ على $[0,+\mathrm{\infty }[$، فإذا كان $x\ge 0$ كان $f(x)\le f(0)=0$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(x)\le 0}\\ {\displaystyle \ln (x+1)\le \sqrt{x}}\end{array}$$

   وفي السلّم طريقةٌ ثانية دون رسم الجدول: نكتب $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-{(\sqrt{x}-1)}^2}{2\sqrt{x}(x+1)}\le 0$ (3)، وقد سقط التربيع من السلّم المطبوع، ثمّ «والتابع متناقص $f(0)=0$» (1)، «ومنه $f(x)\le 0$» (2)، و«النتيجة» (3).

2. 2. إذا كان $f$ تابعاً معرّفاً على $\mathbb{R}$ وفق $f(x)=3^{(\sin x{)}^2}$ فأوجد $f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{4}\right)$.(10 درجات)

   الشكل الأسّيالدرجة: 2+2+2

   الأساس $3$ موجبٌ تماماً، فـ$a^b=e^{b\ln a}$ تعطي $f(x)=e^{u(x)}$ مع $u(x)=(\sin x{)}^2\ln 3$. و$u^{\mathrm{\prime }}(x)=2\sin x\cos x\ln 3$، ومشتقّ $e^u$ هو $u^{\mathrm{\prime }}{e}^u$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\sin x\cos x\ln 3e^{u(x)}}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln 3(2\sin x\cos x)f(x)}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «إذا اشتق التابع مباشرة دون تحويل للشكل الأسي ينال الدرجة»، أي من اشتقّ $3^u$ مباشرةً بقاعدة مشتقّ $x\mapsto a^x$ من درس «دراسة توابع من النمط $x\mapsto a^x$ $(a>0)$» مع قاعدة اشتقاق التابع المركّب نال الدرجة كاملة.

   الجوابالدرجة: 2+2

   عند $\frac{\pi }{4}$ يكون $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$، فـ$2\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}=1$ و${(\sin \frac{\pi }{4})}^2=\frac{1}{2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\ln 3(2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}})3^{\frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}\ln 3}\end{array}$$

   وفي السلّم المطبوع ينتهي السطر بـ$\sqrt{3}\ln 2$، وهو خطأٌ طباعيّ: العامل $\ln 3$ في أوّل السطر نفسه لا يتغيّر بالتعويض.

3. 3. حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة $9^x=3^{x+1}-2$.(30 درجةً)

   كتابة المعادلةالدرجة: 5+5+5

   نكتب كلّ القوى بالأساس $3$: $9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2$ و$3^{x+1}=3\times 3^x$. فتصير المعادلة:

   $${\left(3^x\right)}^2-3\times 3^x+2=0$$

   في سلّم التصحيح: «يمكن حل المعادلة بأي طريقة».

   التحليلالدرجة: 5

   إذا وضعنا $t=3^x$ صار الطرف الأيسر $t^2-3t+2$، وجذراه $1$ و$2$:

   $$(3^x-2)(3^x-1)=0$$

   الجوابالدرجة: 5+5

   الجداء معدومٌ إذا انعدم أحد عامليه. من $3^x=1=3^0$ نجد $x=0$. ومن $3^x=2$ نأخذ اللوغاريتم، و$\ln \left(3^x\right)=x\ln 3$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle x\ln 3=\ln 2⟺x=\frac{\ln 2}{\ln 3}}\\ {\displaystyle S=\{0,\frac{\ln 2}{\ln 3}\}}\end{array}$$

   تحقّق: عند $x=0$ يكون الطرفان $1$ و$3-2=1$. وعند $3^x=2$ يكون $9^x=4$ و$3\times 2-2=4$.