خواص التابع الأسّيالتحليل

كلّ ما في هذا المقطع يخرج من جملةٍ واحدة: التابع $\exp$ هو التقابل العكسي للتابع $\ln$. ولأنّ $\ln$ يحوّل الضرب إلى جمع، فإنّ تقابله العكسيّ يحوّل الجمع إلى ضرب.

تذكّر: والباقي يتساقط من هذه الواحدة. ضع $b=-a$ فتحصل على $e^a{e}^{-a}=e^0=1$، ومنه المقلوب. وعوّض $-b$ مكان $b$ فتحصل على القسمة. والقاعدة الخامسة بالتدريج. أمّا السادسة فبثلاث حالات كما في الكتاب: الحالة $p=0$ هي القاعدة الأولى، والحالة $0<p$ تأتي من الخامسة بوضع كلّ الأعداد متساوية، والحالة $p<0$ تُردّ إلى السابقة بالمقلوب.

حتّى الآن كنت ترفع عدداً إلى أُسٍّ صحيح، وتعرف ما يعنيه $2^3$: جداء ثلاثة عوامل. لكن ما معنى $2^{\sqrt{2}}$؟ لا يمكنك ضرب العدد $2$ في نفسه $\sqrt{2}$ مرّة. هنا يفتح التابع الأسّي الباب.

تذكّر: 🚨 وهنا سؤالٌ يجب أن يخطر لك: إذا كان $a^x$ تعريفاً جديداً، فهل يوافق ما تعرفه عن القوى الصحيحة؟ أي هل $2^3$ بالتعريف الجديد يساوي $2\times 2\times 2$؟ الجواب نعم، والدليل هو القاعدة السادسة من المقطع السابق: ضع فيها $a=\ln b$ فتصير ${\left(e^{\ln b}\right)}^p=e^{p\ln b}$، أي $b^p=e^{p\ln b}$. الطرف الأيسر هو القوّة القديمة والأيمن هو التعريف الجديد، وهما واحد.

انتبه: الكتاب يضع القاعدة السادسة في الصفحة التي تسبق التعريف مباشرةً ولا يقول إنّها هي التحقّق من التوافق. وهي أيضاً الجواب عن السؤال المفتوح في الوحدة السابقة، حيث سأل الكتاب هل يلتبس $e^m$ بجداء $m$ عاملاً وتركه بـ «لماذا؟». هنا يُغلق ذلك السؤال، من دون أن يقول الكتاب إنّه يُغلقه.

ولاحظ شرط التعريف: $a$ موجبٌ تماماً. الأساس السالب ممنوع، لأنّ $\ln a$ لا يوجد عندئذٍ. ولهذا لا معنى للرمز $(-2{)}^{\pi }$، وهذا واحد من ثلاثة أخطاء يحذّر منها الكتاب صراحةً في آخر الوحدة.

تذكّر: براهين القواعد الستّ كلّها بحركةٍ واحدة: اكتب كلّ قوّةٍ بصيغة $e^{u\ln a}$، طبّق قاعدة الجمع في الأُسّ، ثمّ اقرأ النتيجة قوّةً من جديد. لا تحفظها واحدةً واحدة، بل احفظ الحركة.

انتبه: الكتاب لا يربط القوّة الحقيقيّة بالجذور في نصّ الدرس، مع أنّ تمرين ②❾ يطلب $\sqrt[6]{\mathrm{2<!--\; -->7}}\times 3^{\frac{1}{2}}$. الجسر هو $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ حيث $a>0$، ونحن نضعه هنا لأنّك تحتاجه. والكتاب يضعه أيضاً، لكن متأخّراً: في قسم التمارين على الصفحة $\mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->4}$، حيث يعرّف تابع الجذر من المرتبة $n$ بأنّه التقابل العكسي للتابع $x\mapsto x^n$.

وصلنا إلى الجزء الذي تسأل عنه البكالوريا أكثر من أيّ جزءٍ آخر في هذه الوحدة. الفكرة واحدة: معادلةٌ فيها $e^{2x}$ و $e^x$ ليست معادلةً جديدة، بل معادلةٌ من الدرجة الثانية متنكّرة.

انتبه: الشرط $X_0>0$ هو نصف الطريقة. للمعادلة من الدرجة الثانية قد يكون جذران، وقد يكون أحدهما سالباً أو معدوماً؛ ذاك يُرفض، لأنّ $e^x$ موجبٌ تماماً عند كلّ $x$. ومن نسي هذا الفحص أضاف حلاًّ غير موجود. وقد لا يبقى أيّ حلّ، ولهذا يكتب الكتاب «إن وجدت».

تذكّر: وزن هذا المقطع في البكالوريا هو الأعلى في الوحدة كلّها: الطلب على معادلةٍ أو متراجحةٍ من الدرجة الثانية في $a^x$ أو $e^x$ ظهر في خمس دورات من اثنتي عشرة قرأناها، مرّتين منها بأربعين درجة. وهو أيضاً الهدف السادس في تصنيف التمارين لدى دليل المعلّم.