الدرس 2: مبرهنات تخص النهايات

التمرين الثاني من امتحان 2026

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2026، الفرع العلميّ

لتكن المتتالية: $(u_{n})_{n \geq 0}$ المعرّفة تدريجياً وفق: $u_{0} = 1, u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} + 4$

المطلوب:

1.أثبت بالتدريج أنّ $1 \leq u_{n} \leq 12$ .
2.لتكن المتتالية $(v_{n})_{n \geq 0}$ المعرّفة وفق: $v_{n} = u_{n} - 12$ أثبت أنّ المتتالية $(v_{n})_{n \geq 0}$ هي متتالية هندسيّة عيّن أساسها $q$ وحدّها الأوّل $v_{0}$ ثم اكتب $v_{n}$ بدلالة $n$ .
3.لتكن $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ اكتب $S_{n}$ بدلالة $n$ ، ثم احسب $\lim_{x \to + \infty} S_{n}$ .

القراءة: تحت رمز النهاية في نصّ الطلب الثالث $x \to + \infty$ ، هكذا في ورقة الامتحان وفي سلّم التصحيح. والمقصود $n \to + \infty$ ، لأنّ $S_{n}$ متتاليةٌ دليلها $n$ .

تنبيه: عدد حدود $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ هو $n + 1$ لا $n$ ، لأنّ العدّ يبدأ من الصفر. فالأُسّ في صيغة المجموع $n + 1$ ، والعدد $12$ يُجمع $n + 1$ مرّة. ومن عدّها $n$ حدّاً خرج له عند $n = 0$ المجموع $0$ ، مع أنّ $S_{0} = u_{0} = 1$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. أثبت بالتدريج أنّ $1 \leq u_{n} \leq 12$ .(25 درجةً)
الحالة القاعديّةالدرجة: 5
الخاصّة المطلوبة $E (n)$ : $1 \leq u_{n} \leq 12$ ، من أجل $n \geq 0$ . عند $n = 0$ يكون $u_{0} = 1$ ، و $1 \leq 1 \leq 12$ ، فالخاصّة $E (0)$ صحيحة.
الافتراضالدرجة: 3
نفترض صحّة الخاصّة من أجل عددٍ طبيعيّ $n$ :
$E (n) : 1 \leq u_{n} \leq 12$
المطلوبالدرجة: 5
ونبرهن صحّتها من أجل $n + 1$ :
$E (n + 1) : 1 \leq u_{n + 1} \leq 12$
الاستفادة من الفرضالدرجة: 5+5
نضرب أطراف $E (n)$ بالعدد الموجب $\frac{2}{3}$ فلا يتغيّر اتّجاه المتراجحتين، ثمّ نضيف $4$ :
$\begin{array}{c} \frac{2}{3} \leq \frac{2}{3} u_{n} \leq 8 \\ \frac{14}{3} \leq \frac{2}{3} u_{n} + 4 \leq 12 \end{array}$
في سلّم التصحيح: «في الخطوة الثالثة إذا أخذ الطالب صورة الأطراف وفق التابع f يجب أن يذكر أن التابع متزايد تماماً»، أي من كتب $u_{n + 1} = f (u_{n})$ مع $f (x) = \frac{2}{3} x + 4$ وانتقل إلى $f (1) \leq f (u_{n}) \leq f (12)$ فعليه أن يذكر أنّ $f$ متزايدٌ تماماً، فهو الذي يحفظ اتّجاه المتراجحتين.
الجوابالدرجة: 2
الحدّ الأوسط هو $u_{n + 1}$ ، و $1 < \frac{14}{3}$ :
$E (n + 1) : 1 \leq u_{n + 1} \leq 12$
فالخاصّة $E (n + 1)$ صحيحة اعتماداً على صحّة $E (n)$ ، ومع صحّة $E (0)$ تكون الخاصّة صحيحةً من أجل $n \geq 0$ .
2. لتكن المتتالية $(v_{n})_{n \geq 0}$ المعرّفة وفق: $v_{n} = u_{n} - 12$ أثبت أنّ المتتالية $(v_{n})_{n \geq 0}$ هي متتالية هندسيّة عيّن أساسها $q$ وحدّها الأوّل $v_{0}$ ثم اكتب $v_{n}$ بدلالة $n$ .(25 درجةً)
متتاليةٌ هندسيّةالدرجة: 5+5+5
نعبّر عن $v_{n + 1}$ بدلالة $u_{n}$ ، ثمّ نُخرج $\frac{2}{3}$ عاملاً مشتركاً:
$\begin{array}{c} v_{n + 1} = u_{n + 1} - 12 \\ = \frac{2}{3} u_{n} + 4 - 12 = \frac{2}{3} u_{n} - 8 \\ = \frac{2}{3} (u_{n} - 12) = \frac{2}{3} v_{n} \end{array}$
العلاقة $v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}$ صحيحةٌ أيّاً كان $n$ ، فالمتتالية $(v_{n})_{n \geq 0}$ هندسيّةٌ أساسها $q = \frac{2}{3}$ .
الحدّ الأوّلالدرجة: 5
$v_{0} = u_{0} - 12 = 1 - 12 = - 11$
الجوابالدرجة: 5
في متتاليةٍ هندسيّة $v_{m} = v_{p} q^{m - p}$ ، ومع $m = n$ و $p = 0$ :
$v_{n} = - 11 {(\frac{2}{3})}^{n}$
ومنه الحدّ العامّ للمتتالية الأصليّة: $u_{n} = v_{n} + 12 = 12 - 11 {(\frac{2}{3})}^{n}$ .
في سلّم التصحيح: «إذا وجد الطالب الحد العام $u_{n}$ بأي طريقة تقبل»، أي يُقبل كلّ طريقٍ صحيحٍ إلى الحدّ العامّ.
3. لتكن $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ اكتب $S_{n}$ بدلالة $n$ ، ثم احسب $\lim_{x \to + \infty} S_{n}$ .(10 درجات)
المجموعالدرجة: 3
من الطلب الثاني $u_{k} = v_{k} + 12$ لكلّ $k$ ، فنكتب كلّ حدٍّ من حدود المجموع بهذا الشكل:
$\begin{array}{c} S_{n} = (v_{0} + 12) + (v_{1} + 12) \\ + \dots + (v_{n} + 12) \end{array}$
الصيغةالدرجة: 2
في المجموع $n + 1$ حدّاً. حدود $v$ منها متتاليةٌ هندسيّةٌ أوّلها $- 11$ وأساسها $\frac{2}{3}$ ، ومجموع $n + 1$ حدّاً منها $- 11 \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ مع $q = \frac{2}{3}$ ، و $\frac{- 11}{1 - q} = - 33$ ، والعدد $12$ مكرّرٌ $n + 1$ مرّة:
$\begin{array}{c} S_{n} = - 33 (1 - {(\frac{2}{3})}^{n + 1}) \\ + 12 (n + 1) \end{array}$
تحقّق: عند $n = 0$ يكون $- 33 \times \frac{1}{3} + 12 = 1 = u_{0}$ .
الجوابالدرجة: 5
الأساس $\frac{2}{3}$ يحقّق $- 1 < \frac{2}{3} < 1$ ، فـ ${(\frac{2}{3})}^{n + 1}$ يسعى إلى $0$ ، فالمقدار $- 33 (1 - {(\frac{2}{3})}^{n + 1})$ يسعى إلى $- 33$ . والحدّ $12 (n + 1)$ يسعى إلى $+ \infty$ ، ومجموع متتاليةٍ نهايتها عددٌ حقيقيّ ومتتاليةٍ نهايتها $+ \infty$ نهايته $+ \infty$ :
$\lim_{n \to + \infty} S_{n} = + \infty$