التمرين الثاني من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. اكتب العدد $\frac{a-c}{d-c}$ بالشكل الجبري والأسي، واستنتج طبيعة المثلث $DCA$.(40 درجةً)

   التعويضالدرجة: 5

   $a-c=-1+i\sqrt{3}-2$ و$d-c=3+i\sqrt{3}-2$:

   $$\frac{a-c}{d-c}=\frac{-3+i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}$$

   الضرب بالمرافقالدرجة: 5+5+5+5

   نضرب البسط والمقام بمرافق المقام $1-i\sqrt{3}$. المقام يصير $1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4$، وفي البسط $i^2=-1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{(-3+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}{4}}\\ {\displaystyle =\frac{-3+3i\sqrt{3}+i\sqrt{3}+3}{4}}\\ {\displaystyle =\frac{4i\sqrt{3}}{4}}\end{array}$$

   الشكل الجبريالدرجة: 5

   $$\frac{a-c}{d-c}=i\sqrt{3}$$

   جزؤه الحقيقيّ $0$ وجزؤه التخيّليّ $\sqrt{3}$.

   الشكل الأسّيالدرجة: 5

   طويلة $i\sqrt{3}$ هي $\sqrt{3}$، وصورته على محور التخيّليّات في جهته الموجبة، فزاويته $\frac{\pi }{2}$:

   $$\frac{a-c}{d-c}=\sqrt{3}{e}^{i\frac{\pi }{2}}$$

   الجوابالدرجة: 5

   زاوية الكسر $\frac{a-c}{d-c}$ قياسٌ للزاوية $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA})$، وطويلته نسبة الطولين $\frac{CA}{CD}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle (\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA})=\frac{\pi }{2}(2\pi )}\\ {\displaystyle \frac{CA}{CD}=\sqrt{3}}\end{array}$$

   فالمثلّث $DCA$ قائمٌ في $C$، وليس متساوي الساقين لأنّ $CA=\sqrt{3}CD$. تحقّق بفيثاغورث: $C{A}^2=\mathrm{1<!--\; -->2}$ و$C{D}^2=4$ و$D{A}^2=\mathrm{1<!--\; -->6}=\mathrm{1<!--\; -->2}+4$.

2. 2. جد العدد العقدي $n$ الذي يمثل $N$ صورة $B$ وفق تحاكٍ مركزه $A$ ونسبته $2$.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   التحاكي الذي مركزه $\mathrm{\Omega }$ ونسبته $k$ يحوّل النقطة التي يمثّلها $z$ إلى النقطة التي يمثّلها $z^{\mathrm{\prime }}$، حيث $\omega$ العدد الممثّل للمركز:

   $$z^{\mathrm{\prime }}-\omega =k(z-\omega )$$

   التعويضالدرجة: 5

   المركز $A$ فـ$\omega =a$، والنسبة $k=2$، والنقطة $B$ صورتها $N$، فـ$z=b$ و$z^{\mathrm{\prime }}=n$:

   $$n-a=2(b-a)$$

   الجوابالدرجة: 5

   $2b=-3+i\sqrt{3}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle n=2b-a}\\ {\displaystyle =-3+i\sqrt{3}+1-i\sqrt{3}}\\ {\displaystyle n=-2}\end{array}$$

   تحقّق: $b-a=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ و$n-a=-1-i\sqrt{3}$، وهو ضعفه.

3. 3. أثبت أنّ النقطة $B$ هي مركز أبعاد متناسبة للنقاط $(A,2)$ و $(D,-1)$ و $(C,1)$.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   مجموع المعاملات $2-1+1=2\mathrm{\ne }0$، فمركز الأبعاد المتناسبة $G$ موجود، والعدد الممثّل له:

   $$z_G=\frac{{\alpha }_1{z}_1+{\alpha }_2{z}_2+{\alpha }_3{z}_3}{{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3}$$

   التعويضالدرجة: 5

   مع $z_1=a$ و$z_2=d$ و$z_3=c$، و${\alpha }_1=2$ و${\alpha }_2=-1$ و${\alpha }_3=1$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle z_G=\frac{2a-d+c}{2}}\\ {\displaystyle =\frac{-2+2i\sqrt{3}-3-i\sqrt{3}+2}{2}}\end{array}$$

   الجوابالدرجة: 5

   $$z_G=\frac{-3+i\sqrt{3}}{2}=b$$

   فالعدد الممثّل لمركز الأبعاد المتناسبة هو $b$، والنقطة $B$ هي مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط المثقّلة $(A,2)$ و$(D,-1)$ و$(C,1)$.