التمرين الثالث من امتحان 2023، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. أثبت أنّ: $2\le u_n\le 5$ أيّاً كان $n\ge 0$.(25 درجةً)

   الحالة القاعديّةالدرجة: 5

   الخاصّة المطلوبة $E(n)$: $2\le u_n\le 5$، من أجل $n\ge 0$. عند $n=0$ يكون $u_0=2$، و$2\le 2\le 5$، فالخاصّة $E(0)$ صحيحة.

   الافتراضالدرجة: 5

   نفترض صحّة الخاصّة من أجل عددٍ طبيعيّ $n$، ونبرهن صحّتها من أجل $n+1$:

   $$E(n):2\le u_n\le 5$$

   الجوابالدرجة: 15

   نطرح $1$ من الأطراف، ثمّ نأخذ الجذر التربيعيّ، وهو تابعٌ متزايدٌ على $[0,+\mathrm{\infty }[$ فلا يغيّر اتّجاه المتراجحتين، ثمّ نضيف $3$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 1\le u_n-1\le 4}\\ {\displaystyle 1\le \sqrt{u_n-1}\le 2}\\ {\displaystyle 4\le 3+\sqrt{u_n-1}\le 5}\end{array}$$

   الحدّ الأوسط هو $u_{n+1}$، و$2<4$، فـ$2\le u_{n+1}\le 5$: الخاصّة $E(n+1)$ صحيحةٌ اعتماداً على صحّة $E(n)$، ومع صحّة $E(0)$ تكون صحيحةً من أجل $n\ge 0$.

2. 2. أثبت أنّ المتتالية $(u_n{)}_{n\ge 0}$ متزايدة تماماً، واستنتج تقاربها، ثمّ احسب نهايتها.(35 درجةً)

   الحالة القاعديّةالدرجة: 5

   نبرهن بالتدريج الخاصّة $E(n)$: $u_{n+1}>u_n$. عند $n=0$:

   $$u_1=3+\sqrt{2-1}=4>2=u_0$$

   الافتراضالدرجة: 5

   نفترض صحّة الخاصّة من أجل عددٍ طبيعيّ $n$:

   $$E(n):u_{n+1}>u_n$$

   الوراثةالدرجة: 5

   نطرح $1$، والطرفان موجبان لأنّ $u_n\ge 2$ من الطلب الأوّل. والجذر التربيعيّ متزايدٌ تماماً على $[0,+\mathrm{\infty }[$، ثمّ نضيف $3$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle u_{n+1}-1>u_n-1\ge 1}\\ {\displaystyle \sqrt{u_{n+1}-1}>\sqrt{u_n-1}}\\ {\displaystyle u_{n+2}>u_{n+1}}\end{array}$$

   فالخاصّة $E(n+1)$ صحيحة، ومع صحّة $E(0)$ تكون صحيحةً من أجل $n\ge 0$: المتتالية $(u_n{)}_{n\ge 0}$ متزايدة تماماً.

   التقاربالدرجة: 5+5

   المتتالية متزايدة، ومحدودة من الأعلى بالعدد $5$ من الطلب الأوّل. وكلّ متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى متقاربة، وهي المبرهنة الثامنة في درس «تقارب المتتاليات المطّردة»:

   $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$$

   المعادلةالدرجة: 5

   نكتب $u_{n+1}=f(u_n)$ مع $f(x)=3+\sqrt{x-1}$، وهو مستمرٌّ على $[1,+\mathrm{\infty }[$، فهو مستمرٌّ عند $\mathrm{\ell }$، لأنّ $2\le \mathrm{\ell }\le 5$ من حصر الطلب الأوّل. فالنهاية حلٌّ للمعادلة $f(x)=x$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle 3+\sqrt{\mathrm{\ell }-1}=\mathrm{\ell }}\\ {\displaystyle \sqrt{\mathrm{\ell }-1}=\mathrm{\ell }-3}\end{array}$$

   الطرف الأيسر جذرٌ فهو موجب، فلا بدّ أن يكون $\mathrm{\ell }\ge 3$. نربّع الطرفين: $\mathrm{\ell }-1={\mathrm{\ell }}^2-6\mathrm{\ell }+9$، أي ${\mathrm{\ell }}^2-7\mathrm{\ell }+\mathrm{1<!--\; -->0}=0$، وجذراها $2$ و$5$.

   الجوابالدرجة: 5

   الجذر $2$ مرفوضٌ لأنّه أصغر من $3$، وعنده $\sqrt{2-1}=1$ و$2-3=-1$. أمّا $5$ فيحقّق $\sqrt{4}=2=5-3$:

   $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=5$$