الدرس 3: التكامل المحدّد وخواصّه

التمرين الأوّل من امتحان 2023، الدورة الأولى

70 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2023، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

ليكن $C$ الخط البياني للتابع $f$ المعرّف على $] 0, + \infty [$ وفق: $f (x) = a x + b - \frac{\ln x}{x}$ .

المطلوب:

1.عيّن $a, b$ ليمرّ التابع بالنقطة $A (1, 6)$ ويقبل مماساً في النقطة $A$ وميله يساوي $3$ .
2.من أجل $a = 4$ و $b = 2$ أثبت أنّ المستقيم الذي معادلته $y = 4 x + 2$ مقارب مائل للخطّ $C$ عند $+ \infty$ ثم ادرس الوضع النسبي للخطّ $C$ مع المقارب.
3.احسب $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

الإشارة: الفرق $f (x) - (4 x + 2)$ هو $- \frac{\ln x}{x}$ بإشارة ناقص. من أسقط الإشارة درس إشارة $\frac{\ln x}{x}$ فخرج له الوضع معكوساً: $C$ تحت $Δ$ على $] 0, 1 [$ وفوقه بعد $1$ .

النمط: الكسر $\frac{\ln x}{x}$ من النمط $u^{'} u$ لا $\frac{u^{'}}{u}$ : فيه $u = \ln x$ و $u^{'} = \frac{1}{x}$ . ومن جعل تابعه الأصليّ $\ln (\ln x)$ أخطأ، وهذا التابع غير معرّفٍ أصلاً عند $x = 1$ ، لأنّ $\ln 1 = 0$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. عيّن $a, b$ ليمرّ التابع بالنقطة $A (1, 6)$ ويقبل مماساً في النقطة $A$ وميله يساوي $3$ .(35 درجةً)
المرور بالنقطةالدرجة: 5+5
النقطة $A (1, 6)$ من $C$ معناه $f (1) = 6$ . نعوّض $x = 1$ ، و $\ln 1 = 0$ :
$\begin{array}{c} f (1) = a + b - \frac{\ln 1}{1} = 6 \\ a + b = 6 \end{array}$
ميل المماسالدرجة: 5+5+5+5
ميل المماس في $A$ هو العدد المشتق $f^{'} (1)$ . مشتقّ $\frac{\ln x}{x}$ بقاعدة القسمة، ومشتقّ $\ln x$ هو $\frac{1}{x}$ :
$\begin{array}{c} f^{'} (x) = a - \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^{2}} \\ = a - \frac{1 - \ln x}{x^{2}} \\ f^{'} (1) = a - 1 = 3 ⟺ a = 4 \end{array}$
وفي السلّم المطبوع يُختم هذا السطر بـ«إيجاد قيمة b» والسطر التالي بـ«الوصول إلى a»، والحرفان متبادلان: الشرط $f^{'} (1) = 3$ لا يحوي $b$ ، فهو يعطي $a$ .
الجوابالدرجة: 5
نعوّض $a = 4$ في المعادلة $a + b = 6$ :
$b = 6 - 4 = 2$
فـ $a = 4$ و $b = 2$ . تحقّق: $f (1) = 4 + 2 - 0 = 6$ و $f^{'} (1) = 4 - 1 = 3$ .
2. من أجل $a = 4$ و $b = 2$ أثبت أنّ المستقيم الذي معادلته $y = 4 x + 2$ مقارب مائل للخطّ $C$ عند $+ \infty$ ثم ادرس الوضع النسبي للخطّ $C$ مع المقارب.(25 درجةً)
تشكيل الفرقالدرجة: 6
نسمّي المستقيم $Δ : y = 4 x + 2$ ، ومع $a = 4$ و $b = 2$ يكون $f (x) = 4 x + 2 - \frac{\ln x}{x}$ :
$f (x) - (4 x + 2) = - \frac{\ln x}{x}$
حساب النهايةالدرجة: 5
من النهايات المهمّة للتابع اللوغاريتمي $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ، فـ:
$\lim_{x \to + \infty} (f (x) - (4 x + 2)) = 0$
إذن المستقيم $Δ$ الذي معادلته $y = 4 x + 2$ مقاربٌ مائلٌ للخطّ $C$ عند $+ \infty$ .
على المجال الأوّلالدرجة: 5+2
إشارة الفرق من إشارة $\ln x$ ، لأنّ $x > 0$ . إذا كان $0 < x < 1$ كان $\ln x < 0$ ، فالفرق موجب:
$- \frac{\ln x}{x} > 0 : x \in] 0, 1 [$
فالخطّ $C$ فوق $Δ$ على $] 0, 1 [$ .
في سلّم التصحيح: «في حال كتب $\ln x < 0$ عندما $0 < x < 1$ ، $\ln x > 0$ عندما $x > 1$ ينال 10 درجات وتابع الحل بشكل صحيح ينال الدرجات المخصصة»، أي إشارتا $\ln x$ على المجالين وحدهما تنالان درجتي الإشارة $5 + 5$ ، والباقي لمن أكمل إلى الوضع النسبي.
الجوابالدرجة: 5+2
وإذا كان $x > 1$ كان $\ln x > 0$ ، فالفرق سالب:
$- \frac{\ln x}{x} < 0 : x \in] 1, + \infty [$
فالخطّ $C$ تحت $Δ$ على $] 1, + \infty [$ . وعند $x = 1$ ينعدم الفرق، فيلتقي الخطّان في النقطة $A (1, 6)$ نفسها.
3. احسب $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .(10 درجات)
التابع الأصليّالدرجة: 2+3
التابع $f$ مستمرٌّ على $[1, 2]$ . كثير الحدود $4 x + 2$ تابعه الأصليّ $2 x^{2} + 2 x$ . والكسر $\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x} \ln x$ من النمط $u^{'} u$ مع $u = \ln x$ ، فتابعه الأصليّ $\frac{u^{2}}{2}$ :
$F (x) = 2 x^{2} + 2 x - \frac{(\ln x)^{2}}{2}$
الجوابالدرجة: 2+3
التكامل المحدّد هو $F (2) - F (1)$ ، و $\ln 1 = 0$ :
$\begin{array}{c} \int_{1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (1) \\ = (8 + 4 - \frac{(\ln 2)^{2}}{2}) - (2 + 2) \\ = 8 - \frac{(\ln 2)^{2}}{2} \end{array}$
أي نحو $7.76$ .