المسألة الأولى من امتحان 2018، الدورة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. جد نهاية $f$ عند $-\mathrm{\infty }$، وعند $+\mathrm{\infty }$، هل يقبل الخط $C$ مقاربات غير مائلة؟(25 درجةً)

   النهاية الأولىالدرجة: 10

   عندما يسعى $x$ إلى $-\mathrm{\infty }$ يسعى $-x$ إلى $+\mathrm{\infty }$، فيسعى $e^{-x}$ إلى $+\mathrm{\infty }$، وكذلك $e^{-x}+1$. ونهاية $\ln$ عند $+\mathrm{\infty }$ هي $+\mathrm{\infty }$:

   $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$$

   النهاية الثانيةالدرجة: 10

   عندما يسعى $x$ إلى $+\mathrm{\infty }$ يسعى $-x$ إلى $-\mathrm{\infty }$، فيسعى $e^{-x}$ إلى $0$، و$e^{-x}+1$ إلى $1$. والتابع $\ln$ مستمرّ عند $1$ و$\ln 1=0$:

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$$

   الجوابالدرجة: 5

   نعم. من النهاية الثانية يقبل $C$ مقارباً أفقيّاً عند $+\mathrm{\infty }$:

   $$y=0$$

   وهو محور الفواصل نفسه. ولا مقارب شاقوليّاً، لأنّ $e^{-x}+1>0$ أيّاً كان $x$، فالتابع $f$ معرّفٌ ومستمرٌّ على $\mathbb{R}$ كلّها.

   في سلّم التصحيح: «نعم أو ( يذكر المقارب $y=0$ )»، أي تكفي الإجابة بنعم أو ذكرُ المقارب الأفقيّ.

2. 2. اثبت أن $f(x)=-x+\ln (e^x+1)$(20 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   نُخرج $e^{-x}$ عاملاً مشتركاً داخل اللوغاريتم، لأنّ $e^{-x}\times e^x=1$:

   $$f(x)=\ln \left(e^{-x}(1+e^x)\right)$$

   لوغاريتم الجداءالدرجة: 5+5

   العددان $e^{-x}$ و$1+e^x$ موجبان تماماً، ولوغاريتم جداء عددين موجبين تماماً هو مجموع لوغاريتميهما:

   $$f(x)=\ln \left(e^{-x}\right)+\ln (1+e^x)$$

   الجوابالدرجة: 5

   و$\ln \left(e^y\right)=y$ أيّاً كان العدد الحقيقيّ $y$، فـ$\ln \left(e^{-x}\right)=-x$:

   $$f(x)=-x+\ln (1+e^x)$$

   ويذكر سلّم التصحيح طريقتين أخريين لكلّ منهما $\mathrm{2<!--\; -->0}$ درجة. الثانية تكتب $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$، فـ$f(x)=\ln \left(\frac{1+e^x}{e^x}\right)=\ln (1+e^x)-\ln \left(e^x\right)$، أي $-x+\ln (1+e^x)$، بخمس درجات لكلّ سطر من سطورها الأربعة. والثالثة تبدأ من الطرف الأيمن للمساواة المطلوبة: $-x+\ln (e^x+1)=\ln \left(e^{-x}\right)+\ln (e^x+1)=\ln \left(e^{-x}(1+e^x)\right)=\ln (e^{-x}+1)$، بالدرجات $5$ و$5$ و$5+5$.

3. 3. اثبت أن المستقيم $y=-x$ مقارب مائل للخط $C$ في جوار $-\mathrm{\infty }$.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   نسمّي المستقيم $\mathrm{\Delta }:y=-x$، ونحسب الفرق بين $f(x)$ و$y_{\mathrm{\Delta }}=-x$ مستفيدين من الطلب الثاني:

   $$f(x)-y_{\mathrm{\Delta }}=\ln (e^x+1)$$

   الجوابالدرجة: 10

   عندما يسعى $x$ إلى $-\mathrm{\infty }$ يسعى $e^x$ إلى $0$، و$e^x+1$ إلى $1$:

   $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-y_{\mathrm{\Delta }})=\ln 1=0$$

   فالمستقيم $\mathrm{\Delta }:y=-x$ مقاربٌ مائلٌ للخطّ $C$ في جوار $-\mathrm{\infty }$. والفرق $\ln (e^x+1)$ موجبٌ تماماً لأنّ $e^x+1>1$، فـ$C$ يقع فوق $\mathrm{\Delta }$. أمّا عند $+\mathrm{\infty }$ فالفرق يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$، فليس $\mathrm{\Delta }$ مقارباً هناك، ومقارب $C$ عند $+\mathrm{\infty }$ هو $y=0$ من الطلب الأوّل.

4. 4. ادرس تغيرات التابع $f$ ونظم جدولاً بها.(25 درجةً)

   المشتقالدرجة: 15

   التابع $u:x\mapsto e^{-x}+1$ اشتقاقيّ وموجبٌ تماماً على $\mathbb{R}$، ومشتقّه $u^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}$ بقاعدة مشتقّ $e^u$. فالتابع $f=\ln u$ اشتقاقيّ على $\mathbb{R}$ ومشتقّه $\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}$$

   ومن الكتابة الثانية في الطلب الثاني نصل إلى الشيء نفسه: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1+\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{-1}{e^x+1}$، وهو الكسر السابق بعد ضرب حدّيه في $e^x$.

   إشارة المشتقالدرجة: 5

   البسط $-e^{-x}$ سالبٌ تماماً والمقام $1+e^{-x}$ موجبٌ تماماً، أيّاً كان $x$:

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$$

   فالتابع $f$ متناقصٌ تماماً على $\mathbb{R}$.

   الجوابالدرجة: 5

   ومع النهايتين من الطلب الأوّل:

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$
   $f(x)$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$0$

   والتابع لا يبلغ $0$: قيمه كلّها موجبةٌ تماماً لأنّ $e^{-x}+1>1$.

5. 5. ارسم المقاربات وارسم الخط البياني $C$.(15 درجةً)

   الجوابالدرجة: 5+5+5

   نرسم المقارب المائل $\mathrm{\Delta }:y=-x$ والمقارب الأفقيّ $y=0$، وهو محور الفواصل. ثمّ نرسم $C$ متناقصاً، فوق $\mathrm{\Delta }$ وفوق محور الفواصل، يقترب من $\mathrm{\Delta }$ عند $-\mathrm{\infty }$ ومن محور الفواصل عند $+\mathrm{\infty }$، ويقطع محور التراتيب في النقطة $(0,\ln 2)$، أي نحو $(0,\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->9})$.

   في سلّم التصحيح: «الرسم الدقيق للخط البياني مع مقارباته»، أي يُطلب رسمٌ دقيقٌ يظهر فيه الخطّ ومقارباه معاً.