خواص عدد التوافيق، ومنشور ذي الحدّينالتحليل التوافقي والاحتمالات

أيّ الشرطين هو شرط علاقة باسكال $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{r-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{r}\right)$؟

• $0\le r\le n$
• $0\le r<n$
• $1\le r<n$

ما قيمة $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{\mathrm{4<!--\; -->0}}{\mathrm{3<!--\; -->8}}\right)$؟

• $\mathrm{7<!--\; -->8<!--\; -->0}$
• $\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->6<!--\; -->0}$
• $\mathrm{3<!--\; -->8}$

في مثلّث الكرجي-باسكال كما يطبعه الكتاب، أين يقع العدد $\mathrm{1<!--\; -->0}$ الذي يساوي $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)$؟

• في السطر الخامس المطبوع والعمود الثالث للأعداد
• في السطر الرابع المطبوع والعمود الثاني للأعداد
• في السطر السادس المطبوع والعمود الرابع للأعداد

في برهان منشور ذي الحدّين بالتدريج يستعمل الكتاب علاقة باسكال في صورة $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{r-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{r}\right)$. ما شرط هذه الصورة؟

• $0\le r\le n$
• $1\le r\le n$
• لا شرط عليها، فهي متطابقة

في منشور $(a+b{)}^8$، ما الحدّ $T_3$ بحسب الصيغة التي تكتبها المبرهنة صفحة 139؟

• $\mathrm{5<!--\; -->6}{a}^5{b}^3$
• $\mathrm{5<!--\; -->6}{a}^3{b}^5$
• $\mathrm{3<!--\; -->3<!--\; -->6}{a}^5{b}^3$

ما معامل $x^3$ في منشور $(2x-1{)}^5$؟

• $\mathrm{1<!--\; -->0}$
• $\mathrm{8<!--\; -->0}$
• $-\mathrm{8<!--\; -->0}$

ما الحدّ الثابت المستقلّ عن $x$ في منشور ${(x+\frac{1}{x})}^8$؟

• $1$
• $\mathrm{2<!--\; -->8}$
• $\mathrm{7<!--\; -->0}$

مجموعةٌ فيها سبعة عناصر. كم مجموعةً جزئيّةً لها في المجموع، بكلّ الأحجام؟

• $\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->4<!--\; -->0}$
• $\mathrm{3<!--\; -->5}$
• $\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->8}$

ما شرط وجود حدٍّ ثابتٍ مستقلٍّ عن $x$ في منشور ${(x^2+\frac{1}{x})}^n$؟

• أن يكون $n$ من مضاعفات الثلاثة
• أن يكون $n$ زوجيّاً
• يوجد دائماً، لأنّ الأُسّ يمرّ بالصفر