إنشاء قوائم من عناصر مجموعةالتحليل التوافقي والاحتمالات

يفتح الكتاب الدرس بسطرٍ واحد: نتأمّل مجموعةً غير خالية $E$ مكوّنة من $n$ عنصراً. وكلمة «قائمة» لا يعرّفها هنا، فقد جاءت من نشاط الوحدة قبل الدرس. والذي يجب أن يكون واضحاً قبل كلّ شيء أنّ القائمة تحمل الترتيب في طيّاتها: لها بندٌ أوّل وبندٌ ثانٍ وهكذا. وهذه ليست ملاحظةً جانبيّة، بل هي الفرق بين قائمةٍ ومجموعة: $(a,b)$ و$(b,a)$ قائمتان مختلفتان، بينما $\{a,b\}$ و$\{b,a\}$ مجموعةٌ واحدة.

نسمّي تبديلاً على المجموعة $E$ كلّ قائمة مكوّنة من $n$ بنداً تضمّ جميع عناصر $E$. فالتبديل يستعمل عناصر $E$ كلّها لا بعضها. ولأنّ البنود $n$ والعناصر $n$ وكلّها حاضرة، فلا يمكن أن يتكرّر فيه عنصر: التبديل هو إعادة ترتيبٍ لما عندك، لا اختيارٌ منه.

انتبه: أشهر خطأٍ في هذا الباب أن يُحسب $0!$ صفراً. وهو اصطلاحٌ لا نتيجة، وقيمته $1$. ومن جعله صفراً أفسد كلّ كسرٍ مقامه $(n-r)!$ عند $r=n$، لأنّه يقسم على صفر. وهناك بالضبط سبب الاختيار: الصيغة $P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$ التي ستأتي في آخر الدرس تبقى صحيحةً عند $r=n$ فقط إذا كان $0!=1$.

وماذا لو لم تُطلب العناصر كلّها؟ نسمّي ترتيباً طوله $r$ من المجموعة $E$ كلّ قائمة دون تكرار طولها $r$، أي كلّ قائمة مكوّنة من $r$ بنداً مأخوذاً من عناصر $E$ وبنودها مختلفة مثنى مثنى. فالجديد شيءٌ واحد: الخانات صارت $r$ بدل $n$. وكلّ ما عدا ذلك كما كان، فالعنصر المستعمَل لا يعود.

انتبه: ولا تخلط بين التبديل والترتيب. التبديل يستعمل العناصر $n$ كلّها، والترتيب يستعمل $r$ منها فقط. وهما يلتقيان بوصفهما شيئاً واحداً في حالةٍ واحدة، حين $r=n$: عندئذ $P_n^n=n!$، والترتيب الذي طوله $n$ هو تبديل. وانتبه إلى مفاجأةٍ تستحقّ أن تُرى: عند $r=n-1$ يتساوى العددان أيضاً، لأنّ آخر عوامل $P_n^{n-1}$ هو $2$، فيكون $P_n^{n-1}=n!$. جرّبها: $P_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}=5!$. لكنّ الشيئين يبقيان مختلفين هناك، لأنّ الترتيب يترك عنصراً خارجه. تساوي العددين لا يعني أنّ المعدودين واحد.

وهنا ينقلب الحساب، والكتاب لا يضع لذلك أيّ علامة: لا تعريفاً مرقَّماً، ولا مبرهنة، ولا خاصّة. النتيجة كلّها في سطرٍ واحد أزرق داخل الفقرة. فانتبه، لأنّ الفرق عمّا قبله كبير: إذا سُمح بالتكرار فالعنصر المستعمَل يعود إلى المتاح، فلا ينقص شيء، ولكلّ خانةٍ $n$ إمكاناً مهما كان موضعها.

تذكّر: إنّ $n^r$ هو عدد القوائم مع تكرار التي طولها $r$ ويمكن إنشاؤها من مجموعةٍ عدد عناصرها يساوي $n$. والقاعدة تُقرأ من الخانات مباشرةً: $r$ خانات، وفي كلٍّ منها $n$ إمكاناً، فالجداء هو $n$ مضروباً بنفسه $r$ مرّة.

انتبه: والخطأ الذي يقع فيه أكثر الناس هو قلب الرمزين: $r^n$ بدل $n^r$. والعلاج ليس الحفظ بل قراءة الصورة: الأساس هو ما يُعاد اختياره، أي حجم المجموعة $n$؛ والأسّ هو عدد مرّات الاختيار، أي عدد الخانات $r$. في كلمة $\mathrm{S}\mathrm{Y}\mathrm{R}\mathrm{I}\mathrm{A}$ خمسة حروف وثلاث خانات، فالجواب $5^3$ لا $3^5$، والفرق بين $\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}$ و$\mathrm{2<!--\; -->4<!--\; -->3}$ ليس صغيراً.

انتبه: ولاحظ ما لا يقوله هذا السطر الأزرق: ليس فيه شرطٌ على $r$. التعريف الثاني اشترط $1\le r\le n$، وهنا لا شرط، وذلك ليس سهواً. من ثلاثة حروف يمكن تكوين كلمةٍ من عشرة أحرف بلا صعوبة، أمّا ترتيبٌ طوله عشرة من مجموعةٍ فيها ثلاثة عناصر فغير موجود أصلاً. التكرار يرفع السقف، وغيابه يضعه.

بقيت أداةٌ واحدة، وهي التي تجعل الصيغ قابلةً للحساب فعلاً. والكتاب يضعها في كتلة «تكريساً للفهم» على الصفحة 134، أي خارج كلّ رتبةٍ مرقَّمة، مع أنّها الصيغة التي يقوم عليها أكثر التمارين. ونضعها هنا في فقرةٍ خاصّة بها لهذا السبب بالذات.

والسؤال الأوّل الذي يطرحه الكتاب: كيف نفسّر $n!$ في مسائل التعداد؟ والجواب أنّه عدد الطرائق المختلفة لترتيب عناصر مجموعةٍ فيها $n$ عنصراً. فكلّما رأيت مسألةً تضع الأشياء كلّها في المواضع كلّها، فأنت أمام عامليّ.

انتبه: واحذر أن تختزل $\frac{n!}{(n-r)!}$ إلى $\frac{n}{n-r}$. العامليّ جداءٌ لا عامل، وشطب الرمز $!$ من البسط والمقام ليس اختزالاً. الاختزال الصحيح أن تشطب ذيل الجداء المشترك: في $\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}!}{8!}$ يُشطب $8!$ من الطرفين فيبقى $\mathrm{1<!--\; -->0}\times 9=\mathrm{9<!--\; -->0}$، لا $\frac{\mathrm{1<!--\; -->0}}{8}$.