الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: خواص عدد التوافيق، ومنشور ذي الحدّين

التّحليل التّوافقي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. أيّ الشرطين هو شرط علاقة باسكال $(\binom{n - 1}{r - 1}) + (\binom{n - 1}{r}) = (\binom{n}{r})$ ؟
- أ) $0 \leq r \leq n$
- ب) $0 \leq r < n$
- ج) $1 \leq r < n$
2. ما قيمة $(\binom{40}{38})$ ؟
- أ) $780$
- ب) $1560$
- ج) $38$
3. في مثلّث الكرجي-باسكال كما يطبعه الكتاب، أين يقع العدد $10$ الذي يساوي $(\binom{5}{3})$ ؟
- أ)في السطر الخامس المطبوع والعمود الثالث للأعداد
- ب)في السطر الرابع المطبوع والعمود الثاني للأعداد
- ج)في السطر السادس المطبوع والعمود الرابع للأعداد
4. في برهان منشور ذي الحدّين بالتدريج يستعمل الكتاب علاقة باسكال في صورة $(\binom{n}{r - 1}) + (\binom{n}{r}) = (\binom{n + 1}{r})$ . ما شرط هذه الصورة؟
- أ) $0 \leq r \leq n$
- ب) $1 \leq r \leq n$
- ج)لا شرط عليها، فهي متطابقة
5. في منشور $(a + b)^{8}$ ، ما الحدّ $T_{3}$ بحسب الصيغة التي تكتبها المبرهنة صفحة 139؟
- أ) $56 a^{5} b^{3}$
- ب) $56 a^{3} b^{5}$
- ج) $336 a^{5} b^{3}$
6. ما معامل $x^{3}$ في منشور $(2 x - 1)^{5}$ ؟
- أ) $10$
- ب) $80$
- ج) $- 80$
7. ما الحدّ الثابت المستقلّ عن $x$ في منشور ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ ؟
- أ) $1$
- ب) $28$
- ج) $70$
8. مجموعةٌ فيها سبعة عناصر. كم مجموعةً جزئيّةً لها في المجموع، بكلّ الأحجام؟
- أ) $5040$
- ب) $35$
- ج) $128$
9. ما شرط وجود حدٍّ ثابتٍ مستقلٍّ عن $x$ في منشور ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ ؟
- أ)أن يكون $n$ من مضاعفات الثلاثة
- ب)أن يكون $n$ زوجيّاً
- ج)يوجد دائماً، لأنّ الأُسّ يمرّ بالصفر
10. ما قيمة $(\binom{10}{0}) + (\binom{10}{1}) + \dots + (\binom{10}{10})$ ؟
- أ) $252$
- ب) $1024$
- ج) $3628800$
11. اختزل $(1 + x)^{5} - (1 - x)^{5}$ .
- أ) $2 + 20 x^{2} + 10 x^{4}$
- ب) $10 x + 20 x^{3} + 2 x^{5}$
- ج) $10 x + 10 x^{3} + x^{5}$
12. ما قيمة $(\binom{6}{0}) - (\binom{6}{1}) + (\binom{6}{2}) - (\binom{6}{3}) + (\binom{6}{4}) - (\binom{6}{5}) + (\binom{6}{6})$ ؟
- أ) $0$
- ب) $64$
- ج) $2$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهكذا يكتبه الكتاب صفحة 139. والحدّان من طرفي الشرط ليسا زينة: عند $r = 0$ لا يوجد جزءٌ يحوي العنصر المثبّت، وعند $r = n$ لا يوجد جزءٌ لا يحويه، فينهار تقسيم النوعين الذي عليه البرهان.
2. أ نعم. بالتناظر $(\binom{40}{38}) = (\binom{40}{2}) = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ . وهذا هو نفع الخاصّة عمليّاً: تحويل رتبةٍ كبيرةٍ إلى صغيرةٍ قبل الحساب.
3. ج نعم، لأنّ العنوانين يبدآن من الصفر لا من الواحد. فالسطر المكتوب أمامه $5$ هو سادس سطرٍ مطبوع، والعمود المكتوب فوقه $3$ هو رابع عمودٍ للأعداد. من عدّ بالواحد أخطأ في كلّ قراءةٍ بعدها ولم يخطئ في حسابٍ واحد.
4. ب نعم، وهكذا يكتبه الكتاب صفحة 140. وهي مبرهنة 2 نفسها بعد وضع $n + 1$ مكان $n$ : الشرط $1 \leq r < n + 1$ هو $1 \leq r \leq n$ لأنّ $r$ عددٌ طبيعيّ. لا قاعدة جديدة، بل القاعدة نفسها بحروفٍ أخرى.
5. أ نعم. $T_{r} = (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}$ ، فـ $T_{3} = (\binom{8}{3}) a^{5} b^{3} = 56 a^{5} b^{3}$ . ومجموع الأُسّين $5 + 3 = 8$ ، وهو تحقّقٌ سريعٌ يكفي وحده.
6. ب نعم. $a = 2 x$ و $b = - 1$ و $r = 2$ ، فالحدّ $(\binom{5}{2}) (2 x)^{3} (- 1)^{2} = 10 \times 8 x^{3} \times 1 = 80 x^{3}$ . والإشارة موجبة لأنّ قوّة $b$ زوجيّة.
7. ج نعم. $T_{r} = (\binom{8}{r}) x^{8 - 2 r}$ ، والثابت عند $8 - 2 r = 0$ أي $r = 4$ ، فـ $(\binom{8}{4}) = 70$ . ولاحظ أنّ $r = 4$ هو منتصف السطر، وهذا ليس مصادفةً في منشورٍ أُسّه زوجيّ.
8. ج نعم، $2^{7} = 128$ . وتحقّق بالجمع: $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128$ ، وهو مجموع السطر $n = 7$ من المثلّث، أي النتيجة صفحة 140 بعينها.
9. أ نعم. الأُسّ هو $2 (n - r) - r = 2 n - 3 r$ ، والثابت عند $2 n = 3 r$ أي $r = \frac{2 n}{3}$ . وهذا عددٌ طبيعيّ إذا وفقط إذا قسمت الثلاثة $n$ . فلا حدّ ثابت عند $n = 4$ ، وعند $n = 6$ هو $(\binom{6}{4}) = 15$ ، وعند $n = 9$ هو $(\binom{9}{6}) = 84$ .
10. ب نعم، $2^{10} = 1024$ . وهذا هو المنشور عند $a = b = 1$ : تختفي الحروف ويبقى $2^{n}$ في مواجهة مجموع المعاملات. والقراءة الثانية للنتيجة نفسها: عدد كلّ أجزاء مجموعةٍ فيها عشرة عناصر.
11. ب نعم. المنشور الثاني هو الأوّل بإشاراتٍ متعاقبة، فحدود $x$ الزوجيّة تتساوى وتزول بالطرح، والفرديّة تتضاعف: $2 ((\binom{5}{1}) x + (\binom{5}{3}) x^{3} + (\binom{5}{5}) x^{5}) = 10 x + 20 x^{3} + 2 x^{5}$ .
12. أ نعم. هذا المنشور عند $a = 1$ و $b = - 1$ ، أي $(1 - 1)^{6} = 0^{6} = 0$ . وبالحساب المباشر $1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0$ . وهذه هي الحيلة نفسها التي في مثال الصفحة 142، بقيمةٍ أخرى لـ $x$ .