الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

خواص عدد التوافيق، ومنشور ذي الحدّينالتحليل التوافقي والاحتمالات

الأعداد التي تعدّ المجموعات الجزئيّة هي نفسها معاملات القوّة

في الدرس السابق عرفتَ ما هو $(\binom{n}{r})$ وكيف يُحسب. وهذا الدرس لا يضيف رمزاً جديداً، بل يسأل عن هذا العدد نفسه: ماذا يفعل؟ وله جوابان. الأوّل خاصّتان تُقصِّران الحساب: إحداهما تقول إنّ اختيار ما تأخذه هو بعينه اختيار ما تتركه، والأخرى تبني كلّ سطرٍ من السطر الذي قبله، وعليها يقوم مثلّث الكرجي-باسكال. والجواب الثاني أوسع من ذلك: هذه الأعداد هي بعينها معاملات $(a + b)^{n}$ . فالمتطابقتان $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ و $(a + b)^{3}$ اللّتان تحفظهما منذ سنين ليستا حالتين خاصّتين محفوظتين، بل سطران من جدولٍ واحد، وهذا الدرس يكتب الجدول كلّه.

خواص عدد التوافيق

يبدأ الدرس في الكتاب بلا مقدّمة: بعد سطر العنوان مباشرةً تأتي مبرهنة 2 بخاصّتين. ولاحظ الرقم، فهو ليس خطأً مطبعيّاً: عدّاد المبرهنات يمشي عبر الوحدة كلّها، ومبرهنة 1 في الدرس السابق صفحة 137. وهذا الدرس وحده بين دروس الوحدة لا يحمل عناوين فرعيّةً مرقّمة.

مبرهنة 2

$(\binom{n}{r}) = (\binom{n}{n - r})$: أيّاً كان العددان الطبيعيّان $r$ و $n$ بحيث $0 \leq r \leq n$ . وتُسمّى خاصّة التناظر: عدد المجموعات الجزئيّة التي فيها $r$ عنصراً يساوي عدد تلك التي فيها $n - r$ عنصراً.
$(\binom{n - 1}{r - 1}) + (\binom{n - 1}{r}) = (\binom{n}{r})$: أيّاً كان العددان الطبيعيّان $r$ و $n$ بحيث $1 \leq r < n$ . وتُسمّى علاقة باسكال. وانتبه إلى الشرط، فهو ليس شرط الخاصّة الأولى: هنا $r < n$ بالأصغر تماماً، وهناك $r \leq n$ .

الكتاب المدرسي، صفحة 139

انتبه: والشرطان يُخلَطان كثيراً، فاحفظ الفرق بمثالٍ لا بقاعدة. خاصّة التناظر تعمل عند $r = 0$ : فـ $(\binom{5}{0}) = (\binom{5}{5}) = 1$ ، وهذا صحيح. أمّا علاقة باسكال فلا تعمل هناك، لأنّها تطلب $(\binom{n - 1}{r - 1})$ ، أي $(\binom{4}{- 1})$ عند $r = 0$ ، وهذا رمزٌ لا معنى له في هذه المرحلة. وكذلك عند $r = n$ . فالخاصّة الأولى أوسع نطاقاً من الثانية، وليستا شيئاً واحداً بصيغتين.

ويبرهن الكتاب الخاصّتين بالحساب أوّلاً، صفحة 139، ثمّ يعود صفحة 141 ليسأل: كيف نثبتهما دون حساب؟ وسنقلب الترتيب هنا، فنبدأ بالبرهان الذي لا يحسب. والسبب أنّ البرهان الحسابيّ يقنعك بأنّ المساواة صحيحة، أمّا الآخر فيريك لماذا لا يمكن أن تكون غير صحيحة، وهذا الثاني هو ما يبقى معك في القاعة.

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 6

البرهان دون حساب، من جواب الكتاب عن السؤال الأوّل تحت عنوان تكريساً للفهم صفحة 141. لتكن $E$ مجموعةً فيها $n$ عنصراً. نبرهن الخاصّتين بالعدّ وحده.

المطلوب

card (E) = n

① التناظر: ما تأخذه يحدّد ما تتركه
اختر جزءاً $F$ من $E$ فيه $r$ عنصراً. لحظةَ اخترتَه، صار جزءه المتمّم $F^{'} = E ∖ F$ معيّناً، وفيه $n - r$ عنصراً. والعكس كذلك: من $F^{'}$ يعود $F$ .
$F ⟼ F^{'} = E ∖ F$

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 5

والآن البرهان الحسابيّ كما هو في الكتاب صفحة 139، وهو المطلوب في الامتحان. ينطلق من صيغة مبرهنة 1 صفحة 137 ومن تعريف العامليّ، ولا شيء غيرهما. نبرهن علاقة باسكال، فهي الأطول.

المطلوب

(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{(n - r)! \cdot r!}

① اكتب الحدّين بالصيغة
ضَع كلّ حدٍّ في صورة عواملٍ صرفة. لاحظ المقامين: في الأوّل $(r - 1)!$ و $(n - r)!$ ، وفي الثاني $r!$ و $(n - 1 - r)!$ . المقامان مختلفان، فلا جمع بعد.
$\begin{aligned} (\binom{n - 1}{r - 1}) + (\binom{n - 1}{r}) \\ = \frac{(n - 1)!}{(r - 1)! \cdot (n - r)!} \\ + \frac{(n - 1)!}{r! \cdot (n - 1 - r)!} \end{aligned}$

وعلاقة باسكال ليست للبرهان فحسب، بل هي آلةُ حسابٍ: إن عرفتَ سطراً كاملاً من الأعداد، بنيتَ السطر الذي بعده بالجمع وحده، بلا عواملَ ولا قسمة. وهذا هو مثلّث الكرجي-باسكال، ويسمّيه الكتاب في صفحة 141 «الشكل المجاور».

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$

مثلّث الكرجي-باسكال كما في الكتاب صفحة 141. العمود الأوّل هو السطر n، والعناوين فوقه هي الرتبة r، وكلاهما يبدأ من الصفر لا من الواحد. كلّ عددٍ داخل المثلّث هو مجموع العددين فوقه، وهذا هو نصّ علاقة باسكال: الثلاثة والثلاثة في السطر المكتوب أمامه 3 تجمعان إلى الستّة في السطر المكتوب أمامه 4. والخلايا الفارغة فوق القطر تبقى فارغةً لأنّ r لا يكون أكبر من n. وفي الكتاب سهمان يشيران إلى هذا الجمع، ودائرةٌ حول العشرة في السطر المكتوب أمامه 5 والعمود المكتوب فوقه 3.

تذكّر: واقرأ المثلّث كما يُقرأ جدولٌ لا كما يُقرأ نصّ: العدد $(\binom{n}{r})$ يقع عند تقاطع السطر $n$ والعمود $r$ . فـ $(\binom{5}{3}) = 10$ في السطر المكتوب أمامه $5$ والعمود المكتوب فوقه $3$ . وهذا هو موضع الغلط الأشهر: السطر الأوّل المطبوع ليس $n = 1$ بل $n = 0$ ، وأوّل عمودٍ مطبوعٍ للأعداد ليس $r = 1$ بل $r = 0$ . من عدّ بالواحد أخطأ في كلّ قراءةٍ بعدها، ولم يخطئ في الحساب مرّةً واحدة. ولهذا نقول في هذا الدرس «السطر $n = 5$ » ولا نقول «السطر الخامس»: الأولى لا تلتبس، والثانية تلتبس.

جرّب بنفسك

استعمل خاصّة التناظر وحدها: ما قيمة $(\binom{29}{27})$ ؟

كيف أبدأ؟

لا تحسب $29!$ ، فهو عددٌ من واحدٍ وثلاثين خانة. بدّل الرتبة بمتمّمتها أوّلاً، ثمّ احسب.

جرّب بنفسك

في مثلّث الكرجي-باسكال، ما العددان اللذان يجمعان إلى $(\binom{6}{2}) = 15$ ؟

كيف أبدأ؟

علاقة باسكال تنزل سطراً واحداً. فالعددان المطلوبان في السطر $n = 5$ ، وفي رتبتين متجاورتين.

منشور ذي الحدّين

تعرف $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ، وتعرف $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . انظر الآن إلى معاملاتهما: $1, 2, 1$ ثمّ $1, 3, 3, 1$ . وهذان بعينهما سطرا $n = 2$ و $n = 3$ من المثلّث الذي كتبناه قبل قليل. فالمتطابقتان لم تكونا محفوظتين بلا سبب، بل هما حالتان من قاعدةٍ واحدة، وهذه القاعدة هي مبرهنة 3.

مبرهنة 3 (منشور ذي الحدين)

$\begin{aligned} (a + b)^{n} & = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b \\ + \dots + (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r} + \dots \\ + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) b^{n} \end{aligned}$: أيّاً كان العددان العقديّان $a$ و $b$ ، وأيّاً كان العدد الطبيعي $n \geq 1$ . ولاحظ كلمة عقديّان: المبرهنة لا تقتصر على الأعداد الحقيقيّة، ولهذا يستعملها الكتاب بعد قليلٍ على $(1 + i)^{6}$ مباشرةً.

الكتاب المدرسي، صفحة 139

تذكّر: واقرأ الصيغة بقانونٍ واحدٍ يُغنيك عن حفظها: أُسّ $a$ ينزل من $n$ إلى الصفر، وأُسّ $b$ يطلع من الصفر إلى $n$ ، ومجموع الأُسّين في كلّ حدٍّ يساوي $n$ . فإن كتبتَ حدّاً مجموع أُسّيه ليس $n$ فقد أخطأتَ قبل أن تحسب المعامل. وهذه هي الملاحظة التي يختم بها الكتاب آخر نقاط كتلة أفكار يجب تمثّلها صفحة 143.

ويبرهن الكتاب المبرهنة بالتدريج، ويكتب على البرهان «يترك إلى قراءة ثانية»، أي إنّه اختياريّ. والفكرة في سطرين: يُكتب $(a + b)^{n + 1} = a (a + b)^{n} + (a + b)^{n} b$ ، فينتج مجموعان أحدهما منزلقٌ عن الآخر بموضعٍ واحد، ثمّ تُجمع الحدود المتناظرة بعلاقة باسكال. والعلاقة تُستعمل هنا في صورتها $(\binom{n}{r - 1}) + (\binom{n}{r}) = (\binom{n + 1}{r})$ حيث $1 \leq r \leq n$ ، وهي مبرهنة 2 نفسها بعد وضع $n + 1$ مكان $n$ . لا تحفظ سطور البرهان، فالمطلوب في الامتحان هو الصيغة والاستعمال. من تعلّق بكلّ سطرٍ من الانزلاق خسر الأمثلة.

وقبل الأمثلة أداةٌ لا يفرد لها الكتاب كتلةً، ولا كتلة أصلاً في هذا الدرس: صفحاته الأربع لا تحمل تعريفاً ولا خاصّةً ولا قاعدةً ولا ملاحظة، بل مبرهنتين ونتيجةً لا غير. والأداة مذكورةٌ عنده جواباً عن السؤال الثالث تحت عنوان تكريساً للفهم صفحة 141، سطراً واحداً بلا برهانٍ وبلا مثال، ثمّ تطلبها تمارين الصفحة 142 فوراً. وهي هنا في موضعٍ ظاهرٍ قبل الأمثلة، لأنّ ترتيب الكتاب في هذه النقطة يترك القارئ بلا عُدّة.

T_{r} = (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}, 0 \leq r \leq n

تذكّر: هذا هو الحدّ الذي دليله $r$ في منشور $(a + b)^{n}$ ، وبه يُحلّ كلّ سؤالٍ من نوع «عيّن الحدّ الذي يحوي كذا» بلا نشر المنشور كلّه. والمنشور مجموع $T_{0}$ و $T_{1}$ حتّى $T_{n}$ ، فعدد الحدود $n + 1$ لا $n$ ، لأنّ الدليل يمشي من الصفر إلى $n$ . في $(a + b)^{6}$ سبعة حدود، وهذا ما ترى في مثال الكتاب صفحة 142.

انتبه: وهنا تناقضٌ في الكتاب نفسه، لا في قراءتك: صفحة 139 وصفحة 141 تكتبان الحدّ $(\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}$ ، وصفحة 143 تكتبه $(\binom{n}{r}) a^{r} b^{n - r}$ . والصيغتان صحيحتان كلتاهما بفضل التناظر، لكنّهما تعطيان الدليل $r$ نفسه حدّين مختلفين: في الأولى $T_{1}$ من $(x + 2)^{5}$ هو $5 x^{4} \cdot 2$ ، وفي الثانية هو $5 x \cdot 2^{4}$ . فاختر صيغةً واحدةً وأَلزِمْ نفسك بها. نحن نلتزم صيغة الصفحة 139، لأنّ تمارين الصفحة 142 معلّقةٌ بها، ولأنّها هي التي تكتب المبرهنة.

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 4

مثال الكتاب صفحة 142، عنوانه «استعمال منشور ذي الحدّين». انشر $A = (2 x - 1)^{5}$ . والصعوبة ليست في المعاملات بل في أنّ الحدّين ليسا $x$ و $1$ .

المطلوب

A = (2 x - 1)^{5}

① سمِّ a وb قبل كلّ شيء
المقدار $2 x - 1$ طرحٌ، والمبرهنة تتكلّم عن جمع. فاقرأ الطرح جمعاً: $a = 2 x$ و $b = - 1$ . وهذه الخطوة وحدها هي التي تُخطئ فيها أكثر الأوراق.
$a = 2 x, b = - 1, n = 5$

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 4

والمثال نفسه في الكتاب يطلب $B = (1 + i)^{6}$ ، ويذكّر بأنّ $i$ هو العدد العقدي الذي يحقّق $i^{2} = - 1$ . وهذا هو موضع كلمة «عقديّان» في المبرهنة: لا حاجة إلى قاعدةٍ جديدة.

المطلوب

B = (1 + i)^{6}

① معاملات السطر $n = 6$
هنا $a = 1$ و $b = i$ ، وقوى الواحد كلّها واحد، فلا يبقى إلا المعاملات وقوى $i$ . ومعاملات $n = 6$ هي $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ ، سبعة حدود لا ستّة.
$\begin{aligned} (1 + i)^{6} & = 1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 i^{3} \\ + 15 i^{4} + 6 i^{5} + i^{6} \end{aligned}$

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 5

وهذا النوع من الأسئلة يطلبه الكتاب في تَدَرَّبْ ② صفحة 142 ولم يُرِه في مثالٍ قبله. في منشور ${(x + \frac{1}{x})}^{10}$ ، عيّن الحدّ الذي يحوي $x^{2}$ والحدّ الثابت المستقلّ عن $x$ . ولا تنشر المنشور، فأحد عشر حدّاً عملٌ طويلٌ بلا داعٍ.

المطلوب

{(x + \frac{1}{x})}^{10}

① اكتب $T_{r}$ ولا تحسب شيئاً بعد
هنا $a = x$ و $b = \frac{1}{x} = x^{- 1}$ و $n = 10$ . ضَعها في صيغة الحدّ ذي الدليل $r$ كما هي.
$T_{r} = (\binom{10}{r}) x^{10 - r} {(x^{- 1})}^{r}$

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 4

والمثال الثاني في الكتاب صفحة 142، عنوانه «حساب مجموع». انشر $(1 + 2 x)^{n}$ واستنتج قيمة المجموع $S_{n} = (\binom{n}{0}) + 2 (\binom{n}{1}) + \dots + 2^{r} (\binom{n}{r}) + \dots + 2^{n} (\binom{n}{n})$ . والحيلة هنا معكوسة: لا نحسب المجموع، بل نجد منشوراً يساويه.

المطلوب

\begin{aligned} S_{n} & = (\binom{n}{0}) + 2 (\binom{n}{1}) + \dots \\ + 2^{n} (\binom{n}{n}) \end{aligned}

① انشر بالحرف
خذ $a = 1$ و $b = 2 x$ . قوى الواحد كلّها واحد، فلا يبقى إلا $(\binom{n}{r}) (2 x)^{r}$ .
$\begin{aligned} (1 + 2 x)^{n} & = 1 + (\binom{n}{1}) (2 x) + \dots \\ + (\binom{n}{r}) (2 x)^{r} + \dots \\ + (\binom{n}{n}) (2 x)^{n} \end{aligned}$

جرّب بنفسك

كم حدّاً في منشور $(a + b)^{7}$ بعد النشر والجمع؟

كيف أبدأ؟

الدليل $r$ يمشي من أيّ عددٍ إلى أيّ عدد؟ عُدَّ الأعداد لا الفروق.

عدد أجزاء مجموعة

وللمنشور نتيجةٌ لا تبدو من صيغته: إن وضعتَ $a = b = 1$ اختفت الحروف كلّها وبقي عددٌ في مواجهة مجموع. الطرف الأيسر يصير $2^{n}$ ، والطرف الأيمن يصير مجموع المعاملات. وهذا يجيب عن سؤالٍ لم نسأله بعد: كم مجموعةً جزئيّةً لمجموعةٍ فيها $n$ عنصراً، كلّ الأحجام معاً؟

نتيجة (عدد أجزاء مجموعة)

$\begin{aligned} 2^{n} & = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots \\ + (\binom{n}{r}) + \dots + (\binom{n}{n}) \end{aligned}$: من المنشور عند $a = b = 1$ . والرتبة لا تخصّ هنا حجماً واحداً، بل تجمع الأحجام كلّها من الصفر إلى $n$ .
$card (E) = n ⟹ card (P (E)) = 2^{n}$: إنّ عدد المجموعات الجزئيّة من مجموعة مكونة من $n$ عنصراً يساوي $2^{n}$ ، هكذا بلا شدّة على الواو كما في الطبع. والربط بين السطرين هو أنّ $(\binom{n}{r})$ يعدّ الأجزاء التي في كلٍّ منها $r$ عنصراً، فمجموعها على $r$ كلّها يعدّ الأجزاء جميعاً.

الكتاب المدرسي، صفحة 140

انتبه: ودقّةٌ في الشرط تستحقّ الذكر: النتيجة في الكتاب لا تذكر شرطاً على $n$ ، أمّا المبرهنة المستعملة في برهانها فتشترط $n \geq 1$ . والنتيجة صحيحةٌ عند $n = 0$ أيضاً، فالمجموعة الخالية لها جزءٌ واحدٌ هو نفسها، و $2^{0} = 1$ . لكنّ برهان الكتاب لا يغطّي هذه الحالة. وفي برهان النتيجة صفحة 140 سقط في الطباعة الحدّ الأوسط $(\binom{n}{r})$ من السطر الثاني، فطُبع مجموعٌ فيه نقطتا حذفٍ متتاليتان. المقصود هو المجموع نفسه المكتوب في السطر الذي فوقه.

ثمّ يعود الكتاب في صفحة 141 بعنوان فَكِّرْ ويقول «طريقة ثانية»، فيبرهن النتيجة نفسها من جديد بلا منشورٍ ولا معاملات، بالعدّ وحده. وهذا البرهان الثاني أقصر وأصفى، وهو الذي ينفعك إذا نسيتَ الصيغة.

الحلّ خطوة بخطوة

1 من 4

فَكِّرْ، صفحة 141: الطريقة الثانية. لتكن $E$ مجموعةً فيها $n$ عنصراً. نعدّ أجزاءها دون أن نستعمل المنشور.

المطلوب

card (E) = n

① بناء الجزء مهمّةٌ على مراحل
إن كُلّفتَ بإنشاء مجموعةٍ جزئيّةٍ $A$ من $E$ ، فأنجِزْ المهمّة على $n$ مرحلة، مرحلةً لكلّ عنصر. ولا تفكّر في حجم $A$ أصلاً، فالحجم يخرج من القرارات لا يدخل فيها.
$A \subset E$

جرّب بنفسك

مجموعةٌ فيها ستّة عناصر. كم جزءاً لها فيه ثلاثة عناصر، وكم جزءاً لها في المجموع؟

كيف أبدأ؟

السؤالان مختلفان ويُخلطان كثيراً. أحدهما يحدّد الحجم والآخر لا يحدّده. اقرأ أيّهما أيّ.

جرّب بنفسك

اختزل $(1 + x)^{6} + (1 - x)^{6}$ .

كيف أبدأ؟

انشر الاثنين في ذهنك ولا تكتبهما. المنشور الثاني هو الأوّل بإشاراتٍ متعاقبة. فأيّ الحدود يبقى بعد الجمع، وأيّها يزول؟

الدرس كاملاً في ملفٍّ جاهزٍ للطباعة، بالشرح والأمثلة المحلولة.تحميل PDF عرض

1خواص عدد التوافيق

مبرهنة 2

الحلّ خطوة بخطوة

1.① التناظر: ما تأخذه يحدّد ما تتركه

الحلّ خطوة بخطوة

1.① اكتب الحدّين بالصيغة

جرّب بنفسك

جرّب بنفسك

2منشور ذي الحدّين

مبرهنة 3 (منشور ذي الحدين)

الحلّ خطوة بخطوة

1.① سمِّ a وb قبل كلّ شيء

الحلّ خطوة بخطوة

1.① معاملات السطر n=6n=6

الحلّ خطوة بخطوة

1.① اكتب TrTr​ ولا تحسب شيئاً بعد

الحلّ خطوة بخطوة

1.① انشر بالحرف

جرّب بنفسك

3عدد أجزاء مجموعة

نتيجة (عدد أجزاء مجموعة)

الحلّ خطوة بخطوة

1.① بناء الجزء مهمّةٌ على مراحل

جرّب بنفسك

جرّب بنفسك