إنشاء قوائم من عناصر مجموعة

مثال الكتاب صفحة 132. لتكن $E=\{a,b,c,d\}$. القائمتان $(a,b,c,d)$ و$(a,c,b,d)$ تبديلان على $E$، وهما مختلفتان رغم أنّ حروفهما واحدة. كم تبديلاً على $E$؟

1. 1. ① املأ الخانة الأولى أمامك أربعة حروف، وأيّها صلح أن يكون البند الأوّل. فللخانة الأولى أربع إمكانات.
   $$4$$
2. 2. ② وما بقي للخانة الثانية الحرف الذي وضعته لا يعود: التبديل لا يكرّر. فمهما كان اختيارك الأوّل، بقي ثلاثة حروف. ومع كلّ اختيارٍ أوّلٍ ثلاثة اختياراتٍ ثانية، فالمجموع حاصل الضرب لا حاصل الجمع.
   $$4\times 3$$
3. 3. ③ ثمّ الثالثة حرفان مستعملان، فبقي اثنان. والمنطق نفسه: كلّ واحدةٍ من $4\times 3$ بدايةً تفتح إمكانين.
   $$4\times 3\times 2$$
4. 4. ④ والرابعة تفرض نفسها لم يبق إلّا حرفٌ واحد، فليس للخانة الأخيرة اختيار. وهذا هو معنى العامل $1$ في آخر الجداء: ليس حشواً، بل خانةٌ لا حرّيّة فيها.
   $$4\times 3\times 2\times 1=\mathrm{2<!--\; -->4}$$

مثال الكتاب صفحة 133. لتكن $E=\{a,b,c,d,e\}$. القائمتان $(a,b,d)$ و$(b,d,e)$ ترتيبان طولهما $3$ من $E$. كم ترتيباً طوله $3$ من $E$؟

1. 1. ① ارسم ثلاث خانات، لا خمساً طول القائمة $3$، فالخانات ثلاث. العنصران الباقيان من $E$ لا يدخلان القائمة، وهذا هو الفرق عن التبديل.
   $$r=3$$
2. 2. ② املأها واحدةً واحدة للأولى خمس إمكانات، وللثانية أربعة بعد أن خرج حرفٌ من المتاح، وللثالثة ثلاثة.
   $$5\times 4\times 3=\mathrm{6<!--\; -->0}$$
3. 3. ③ اقرأ العامل الأخير جيّداً العوامل ثلاثة، تبدأ من $5$ وتنزل واحداً واحداً، فآخرها $3$. وبالحروف: يبدأ الجداء من $n$ وينتهي عند $n-r+1$، وهنا $5-3+1=3$. ليس $n-r$، فذلك يعطي عاملاً زائداً.
   $$n-r+1$$

مثال الكتاب صفحة 134، وعنوانه «السحب دون إعادة لأربع كرات من صندوق يضمّ تسع كرات». في صندوقٍ تسع كرات مرقّمة من $1$ إلى $9$. نسحب أربع كراتٍ الواحدة بعد الأخرى دون إعادة، ونكتب الأرقام بترتيب السحب. كم عدداً من أربع منازل يمكن أن يخرج؟

1. 1. ① سمِّ المسألة قبل أن تحسبها قائمةٌ طولها $4$ من مجموعةٍ فيها $9$ عناصر، وبنودها مختلفة لأنّ الكرة لا تعود. هذا ترتيب، لا تبديل ولا قائمة مع تكرار.
   $$P_9^4$$
2. 2. ② اسحب الأولى الصندوق ممتلئ، فتسع إمكانات لمنزلة الآحاد.
   $$9$$
3. 3. ③ وما بعدها ينقص واحداً في كلّ مرّة الكرة المسحوبة خارج الصندوق، فبقي ثمانٍ للمنزلة الثانية، ثمّ سبعٌ للثالثة، ثمّ ستٌّ للرابعة. أربع خانات، أربعة عوامل.
   $$9\times 8\times 7\times 6$$
4. 4. ④ احسب والعامل الأخير $6$ هو $9-4+1$، فتيقّن أنّك لم تكتب عاملاً زائداً ولا ناقصاً.
   $$9\times 8\times 7\times 6=\mathrm{3<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->4}$$

مثال الكتاب صفحة 135، وعنوانه «عدد القوائم مع تكرار». كم كلمةً من ثلاثة حروف يمكننا تكوينها انطلاقاً من حروف كلمة $\mathrm{S}\mathrm{Y}\mathrm{R}\mathrm{I}\mathrm{A}$؟

1. 1. ① عُدَّ الحروف المتاحة في $\mathrm{S}\mathrm{Y}\mathrm{R}\mathrm{I}\mathrm{A}$ خمسة حروف مختلفة، فالمجموعة فيها خمسة عناصر. والمطلوب كلمةٌ من ثلاثة حروف، فالخانات ثلاث.
   $$n=5,r=3$$
2. 2. ② اسأل عن التكرار، ولا تفترضه لا شيء في نصّ السؤال يمنع أن يتكرّر حرف. فكلمةٌ مثل $\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{S}$ مقبولة، والحرف المستعمَل يبقى متاحاً.
   $$5,5,5$$
3. 3. ③ اضرب خمس إمكانات للخانة الأولى، وخمس للثانية، وخمسة للثالثة، لأنّ المتاح لم ينقص.
   $$5\times 5\times 5=5^3=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}$$

مثال الكتاب صفحة 134. في سباقٍ ستّة أحصنة، ولا يصل اثنان منها في آنٍ واحد. كم نتيجةً مختلفة يمكن أن ينتهي إليها السباق؟

1. 1. ① ما هي «النتيجة» هنا النتيجة هي ترتيب الأحصنة الستّة كلّها من الأوّل إلى السادس. لا يبقى حصانٌ خارج الترتيب، ولا يحتلّ حصانان مرتبةً واحدة، لأنّ النصّ نفى التساوي.
   $$6!$$
2. 2. ② إذن هي تبديل ستّة عناصر في ستّة مواضع، وكلّها حاضرة: هذا تبديلٌ على مجموعة الأحصنة، لا ترتيبٌ جزئيّ.
   $$6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$$
3. 3. ③ احسب اضرب على مراحل: $6\times 5=\mathrm{3<!--\; -->0}$، ثمّ $\times 4=\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->0}$، ثمّ $\times 3=\mathrm{3<!--\; -->6<!--\; -->0}$، ثمّ $\times 2=\mathrm{7<!--\; -->2<!--\; -->0}$، والواحد لا يغيّر شيئاً.
   $$6!=\mathrm{7<!--\; -->2<!--\; -->0}$$

تمارين الكتاب صفحة 135 تفتتح بعبارة «اختزل المقادير الآتية دون استعمال الآلة الحاسبة». وهذا شرطٌ لا زينة: $\mathrm{2<!--\; -->1}!$ عددٌ من عشرين رقماً، والآلة تعجز عنه أو تقرّبه. إليك النمطين اللذين يغطّيان معظم التمارين.

1. 1. ① النمط الأوّل، ذيلٌ مشترك اكتب البسط حتّى تبلغ المقام: $\mathrm{2<!--\; -->1}!=\mathrm{2<!--\; -->1}\times \mathrm{2<!--\; -->0}!$. الآن المقام عاملٌ في البسط، فيُشطب ويبقى $\mathrm{2<!--\; -->1}$.
   $$\frac{\mathrm{2<!--\; -->1}!}{\mathrm{2<!--\; -->0}!}=\frac{\mathrm{2<!--\; -->1}\times \mathrm{2<!--\; -->0}!}{\mathrm{2<!--\; -->0}!}=\mathrm{2<!--\; -->1}$$
2. 2. ② والقاعدة نفسها بعاملين $\mathrm{1<!--\; -->7}!=\mathrm{1<!--\; -->7}\times \mathrm{1<!--\; -->6}\times \mathrm{1<!--\; -->5}!$، فيبقى $\mathrm{1<!--\; -->7}\times \mathrm{1<!--\; -->6}=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->2}$. وعدد العوامل الباقية هو الفرق بين العددين، وهذا هو $P_{\mathrm{1<!--\; -->7}}^2$ نفسه.
   $$\frac{\mathrm{1<!--\; -->7}!}{\mathrm{1<!--\; -->5}!}=\mathrm{1<!--\; -->7}\times \mathrm{1<!--\; -->6}=\mathrm{2<!--\; -->7<!--\; -->2}$$
3. 3. ③ النمط الثاني، بسطٌ فيه طرح لا تشطب هنا شيئاً قبل التحليل. اكتب $6!=6\times 5!$ ثمّ أخرج $5!$ عاملاً مشتركاً من البسط كلّه.
   $$6!-5!=5!(6-1)$$
4. 4. ④ والآن يجوز الشطب بعد التحليل صار البسط جداءً، فيُشطب $5!$ ويبقى $5$. لو شطبتَ قبل التحليل لخرج $6!-1$ أو $6-5$، وكلاهما خطأ.
   $$\frac{5!(6-1)}{5!}=5$$