الدرس 2: استعمال العدد العقديّ الممثّل لشعاع

التمرين الثالث من امتحان 2026

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2026، الفرع العلميّ

ليكن $a = - 1, b = 2 + i \sqrt{3}, c = \overset{ˉ}{b}, d = 3$

المطلوب:

1.تحقّق أنّ $(a - b) = e^{i \frac{π}{3}} (a - c)$ واستنتج نوع المثلث $A B C$ .
2.أثبت أنّ النقطة $D$ هي مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط المثقّلة $(A, - 1), (B, 2), (C, 2)$ .
3.جدْ العدد العقدي $m$ الممثّل للنقطة $M$ التي تجعل الشكل $A C D M$ متوازي أضلاع.
4.لتكن المعادلة $E : z^{2} + p z + q = 0$ عيّن العددين العقديين $p, q$ ليكون $a, b$ جذرين للمعادلة $E$ .

الأمثال: عنوان درس «المعادلات من الدرجة الثانية ذات الأمثال الحقيقيّة» يذكر الأمثال الحقيقيّة، والطلب الرابع يطلب عددين $p$ و $q$ عقديّين. لكنّ العلاقتين $z_{1} + z_{2} = - p$ و $z_{1} z_{2} = q$ تُستنتجان من التفريق $z^{2} + p z + q = (z - z_{1}) (z - z_{2})$ ، وهو تفريق الكتاب، الجزء الثاني، الصفحة 105، مع $a = 1$ ، ونشرُ هذا الجداء لا يحتاج إلى أن تكون الأمثال حقيقيّة. والكتاب نفسه يطلب في «تدرّب» في الصفحة 105 معادلةً جذراها $1 + 2 i$ و $3 - 5 i$ ، فأمثالها عقديّة. ولماذا لا يوجد غير هذين العددين: إذا كان $a$ و $b$ جذرين، طرحنا المساواتين $a^{2} + p a + q = 0$ و $b^{2} + p b + q = 0$ فوجدنا $(a - b) (a + b + p) = 0$ ، ولأنّ $a \neq b$ يكون $p = - (a + b)$ ، ثمّ $q = a b$ .

الإشارة: مجموع الجذرين هو $- p$ لا $p$ . من كتب $p = a + b$ خرج له $p = 1 + i \sqrt{3}$ ، ومع $q = a b$ لا يحقّق المعادلةَ الناتجة $a$ ولا $b$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. تحقّق أنّ $(a - b) = e^{i \frac{π}{3}} (a - c)$ واستنتج نوع المثلث $A B C$ .(20 درجةً)
الطرف الأوّلالدرجة: 5
$a - b = - 1 - 2 - i \sqrt{3} = - 3 - i \sqrt{3}$
الطرف الثانيالدرجة: 5
$c = \overset{ˉ}{b} = 2 - i \sqrt{3}$ ، فـ $a - c = - 3 + i \sqrt{3}$ . و $e^{i \frac{π}{3}} = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ . نضرب، و $i^{2} = - 1$ :
$\begin{array}{c} e^{i \frac{π}{3}} (a - c) \\ = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (- 3 + i \sqrt{3}) \\ = - \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ = - 3 - i \sqrt{3} \end{array}$
التحقّقالدرجة: 5
الطرفان متساويان:
$(a - b) = e^{i \frac{π}{3}} (a - c)$
الجوابالدرجة: 5
نضرب الطرفين بـ $- 1$ فتصير المساواة $b - a = e^{i \frac{π}{3}} (c - a)$ ، و $c \neq a$ ، فـ $\frac{b - a}{c - a} = e^{i \frac{π}{3}}$ . وطويلة هذا الكسر نسبة الطولين $\frac{A B}{A C}$ ، وزاويته قياس الزاوية $(\vec{A C}, \vec{A B})$ :
$\begin{array}{c} \frac{A B}{A C} = ∣ e^{i \frac{π}{3}} ∣ = 1 \\ (\vec{A C}, \vec{A B}) = \frac{π}{3} (2 π) \end{array}$
فالمثلّث $A B C$ متساوي الساقين في $A$ وزاوية رأسه $\frac{π}{3}$ ، وزاويتا قاعدته متساويتان ومجموعهما $\frac{2 π}{3}$ ، فكلٌّ منهما $\frac{π}{3}$ : المثلّث $A B C$ متساوي الأضلاع، و $A B = A C = B C = 2 \sqrt{3}$ . وفي درس «الكتابة العقديّة للتحويلات الهندسيّة» تُقرأ المساواة نفسها دوراناً: $B$ صورة $C$ بالدوران الذي مركزه $A$ وزاويته $\frac{π}{3}$ .
في سلّم التصحيح: «أو أي طريقة صحيحة»، أي يُقبل كلّ طريقٍ صحيحٍ إلى نوع المثلّث، كحساب أطوال أضلاعه الثلاثة.
2. أثبت أنّ النقطة $D$ هي مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط المثقّلة $(A, - 1), (B, 2), (C, 2)$ .(15 درجةً)
العلاقةالدرجة: 5
مجموع المعاملات $- 1 + 2 + 2 = 3 \neq 0$ ، فمركز الأبعاد المتناسبة $G$ موجود، والعدد الممثّل له:
$z_{G} = \frac{α_{1} z_{1} + α_{2} z_{2} + α_{3} z_{3}}{α_{1} + α_{2} + α_{3}}$
التعويضالدرجة: 5
مع $z_{1} = a$ و $z_{2} = b$ و $z_{3} = c$ ، و $α_{1} = - 1$ و $α_{2} = α_{3} = 2$ ، و $- 1 \times a = 1$ ، والجزءان التخيّليّان يتعاكسان:
$\begin{array}{c} z_{G} = \frac{1}{3} (1 + 2 (2 + i \sqrt{3}) \\ + 2 (2 - i \sqrt{3})) \\ z_{G} = \frac{1}{3} (1 + 4 + 4) \end{array}$
الجوابالدرجة: 5
$z_{G} = \frac{9}{3} = 3 = d$
فالعدد الممثّل لمركز الأبعاد المتناسبة هو $d$ ، والنقطة $D$ هي مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط المثقّلة.
3. جدْ العدد العقدي $m$ الممثّل للنقطة $M$ التي تجعل الشكل $A C D M$ متوازي أضلاع.(10 درجات)
العلاقةالدرجة: 5
الرباعي $A C D M$ متوازي أضلاع معناه $\vec{A M} = \vec{C D}$ ، وتساوي شعاعين يكافئ تساوي العددين الممثّلين لهما:
$z_{\vec{A M}} = z_{\vec{C D}} ⟺ m - a = d - c$
الجوابالدرجة: 5
$\begin{array}{c} m = a + d - c \\ = - 1 + 3 - 2 + i \sqrt{3} = i \sqrt{3} \end{array}$
تحقّق: $c - a = 3 - i \sqrt{3}$ و $d - m = 3 - i \sqrt{3}$ ، فـ $\vec{A C} = \vec{M D}$ أيضاً.
في سلّم التصحيح: «أو $m + d = a + c$ »، أي طريقٌ ثانٍ بمنتصف القطرين. وقطرا $A C D M$ هما $[A D]$ و $[C M]$ ، فالعلاقة $m + c = a + d$ ؛ والعلاقة كما طُبعت تعطي $m = - 2 - i \sqrt{3}$ ، وهو رأس متوازي الأضلاع $A M C D$ .
4. لتكن المعادلة $E : z^{2} + p z + q = 0$ عيّن العددين العقديين $p, q$ ليكون $a, b$ جذرين للمعادلة $E$ .(15 درجةً)
المجموعالدرجة: 5+3
في معادلةٍ مكتوبة $z^{2} + p z + q = 0$ جذراها $z_{1}$ و $z_{2}$ يكون $z_{1} + z_{2} = - p$ و $z_{1} z_{2} = q$ . نأخذ $z_{1} = a$ و $z_{2} = b$ :
$\begin{array}{c} z_{1} + z_{2} = - p \\ - 1 + 2 + i \sqrt{3} = - p \\ p = - 1 - i \sqrt{3} \end{array}$
في سلّم التصحيح: «أي طريقة صحيحة تقبل»، أي يجوز مثلاً تعويض $a$ و $b$ في $E$ وحلّ جملة المعادلتين الناتجة في $p$ و $q$ .
الجوابالدرجة: 5+2
$\begin{array}{c} z_{1} z_{2} = q \\ q = (- 1) (2 + i \sqrt{3}) \\ q = - 2 - i \sqrt{3} \end{array}$
تحقّق عند $a = - 1$ : العدد $a^{2} + p a + q$ يساوي $1 + (1 + i \sqrt{3}) + (- 2 - i \sqrt{3})$ ، أي $0$ .