الدرس 3: الكتابة العقديّة للتحويلات الهندسيّة

التمرين الأوّل من امتحان 2018، الدورة الأولى

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2018، الدورة الأولى، الفرع العلميّ

في المستوي العقدي المنسوب إلى معلم متجانس $(O, \vec{u}, \vec{v})$ نتأمل النقاط $A$ ، $B$ ، $C$ ، $M$ التي تُمثلها على الترتيب الأعداد العقدية $a = - 1 - i$ ، $b = 1 - i$ ، $c = 2 i$ ، $m = - 1 + i$ .

المطلوب:

1.مثّل الأعداد $a = - 1 - i$ ، $b = 1 - i$ ، $c = 2 i$ ، $m = - 1 + i$ في المستوي.
2.احسب العدد العقدي $d$ الممثل للنقطة $D$ صورة النقطة $C$ وفق دوران مركزه $O$ وزاويته $\frac{π}{2}$ .
3.أثبت أن النقاط $M$ و $O$ و $B$ تقع على استقامة واحدة.
4.احسب $\arg \frac{c - d}{m}$ ، واستنتج أن $(O M)$ و $(D C)$ متعامدان.

الاتّجاه: الدوران الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{π}{2}$ هو الضرب بـ $e^{i \frac{π}{2}} = i$ . ومن ضرب بـ $- i$ أدار $C$ في الاتّجاه السالب، فوجد $d = 2$ ، ثمّ $\frac{c - d}{m} = 2$ ، وهو عددٌ حقيقيّ يعني أنّ المستقيمين $(O M)$ و $(D C)$ متوازيان، لا متعامدان.

الطرح: زاوية خارج القسمة هي زاوية البسط ناقص زاوية المقام. هنا $\arg (c - d) = \frac{π}{4}$ و $\arg m = \frac{3 π}{4}$ ، والفرق $- \frac{π}{2}$ . ومن جمع الزاويتين وجد $π$ ، فاستنتج توازياً لا تعامداً.

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. مثّل الأعداد $a = - 1 - i$ ، $b = 1 - i$ ، $c = 2 i$ ، $m = - 1 + i$ في المستوي.(8 درجات)
الجوابالدرجة: 2+2+2+2
العدد $x + i y$ تمثّله النقطة $(x, y)$ : الجزء الحقيقيّ على محور الفواصل، والجزء التخيّليّ على محور التراتيب. فالنقاط الأربع هي $A (- 1, - 1)$ و $B (1, - 1)$ و $C (0, 2)$ و $M (- 1, 1)$ .
والنقطة $C$ على محور التراتيب، و $A$ و $M$ فاصلتهما $- 1$ ، و $A$ و $B$ ترتيبهما $- 1$ .
في سلّم التصحيح: «على الرسم مباشرة أو تمثيلها بثنائيات»، أي يكفي رسم النقاط الأربع، أو كتابة كلّ نقطةٍ بثنائيّة إحداثيّيها، ولكلّ نقطةٍ درجتان.
2. احسب العدد العقدي $d$ الممثل للنقطة $D$ صورة النقطة $C$ وفق دوران مركزه $O$ وزاويته $\frac{π}{2}$ .(12 درجةً)
العلاقةالدرجة: 6
الدوران الذي مركزه $Ω$ وزاويته $θ$ يحوّل النقطة التي يمثّلها $z$ إلى النقطة التي يمثّلها $z^{'}$ ، حيث $ω$ العدد الممثّل للمركز:
$z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$
الجوابالدرجة: 6
المركز $O$ فـ $ω = 0$ ، والزاوية $θ = \frac{π}{2}$ ، و $z = c$ و $z^{'} = d$ . و $e^{i \frac{π}{2}} = i$ ، و $i^{2} = - 1$ :
$\begin{array}{c} d = e^{i \frac{π}{2}} c = i \times 2 i \\ d = 2 i^{2} = - 2 \end{array}$
تحقّق: $∣ d ∣ = ∣ c ∣ = 2$ ، فالدوران حفظ البعد عن $O$ . والنقطة $C$ على الجهة الموجبة من محور التراتيب، فصورتها بربع دورةٍ في الاتّجاه الموجب على الجهة السالبة من محور الفواصل: $D (- 2, 0)$ .
في سلّم التصحيح: «يمكن الاعتماد على الرسم مع التعليل الهندسي في الخطوات الثانية والسابعة»، أي يجوز في هذا الطلب أن تُقرأ $D$ من الرسم مع تعليلها: $O D = O C = 2$ ، وقياس الزاوية من $\vec{O C}$ إلى $\vec{O D}$ هو $\frac{π}{2}$ .
3. أثبت أن النقاط $M$ و $O$ و $B$ تقع على استقامة واحدة.(15 درجةً)
الارتباط الخطّيّالدرجة: 5
تقع النقاط $M$ و $O$ و $B$ على استقامة واحدة إذا كان الشعاعان $\vec{O B}$ و $\vec{O M}$ مرتبطين خطّياً، ولأنّ $O \neq B$ يكفي أن يوجد عددٌ حقيقيّ $λ$ يحقّق المساواة الآتية:
$\vec{O M} = λ \vec{O B}, λ \in R$
كتابة الشعاعينالدرجة: 5
العدد الممثّل لشعاعٍ هو عدد نهايته ناقص عدد بدايته، والمبدأ $O$ يمثّله $0$ :
$\begin{array}{c} Z_{\vec{O B}} = b - 0 = 1 - i \\ Z_{\vec{O M}} = m - 0 = - 1 + i \end{array}$
الجوابالدرجة: 5
العدد الثاني معاكسٌ للأوّل، وتساوي عددين يكافئ تساوي الشعاعين اللذين يمثّلانهما:
$\begin{array}{c} Z_{\vec{O M}} = - Z_{\vec{O B}} \\ \vec{O M} = - \vec{O B} \end{array}$
فـ $λ = - 1$ عددٌ حقيقيّ، والشعاعان مرتبطان خطّياً، فالنقاط $M$ و $O$ و $B$ على استقامة واحدة، و $O$ منتصف $[M B]$ . وفي السلّم أربع طرائق أخرى لهذا الطلب. الثانية نسبة عددين عقديّين: $\frac{m - 0}{b - 0} = - 1$ ، وهو عددٌ حقيقيّ. والثالثة معادلة المستقيم المارّ بنقطتين: المستقيم $(O B)$ معادلته $y = - x$ ، والنقطة $M (- 1, 1)$ تحقّقها. والرابعة الرسم مع التعليل الصريح. والخامسة أحد التحويلات الهندسيّة: $m = - b$ ، فـ $M$ صورة $B$ بالتناظر الذي مركزه $O$ ، وهو الدوران الذي مركزه $O$ وزاويته $π$ .
4. احسب $\arg \frac{c - d}{m}$ ، واستنتج أن $(O M)$ و $(D C)$ متعامدان.(25 درجةً)
التعويضالدرجة: 5
من الطلب الثاني $d = - 2$ ، فـ $c - d = 2 i + 2$ :
$\frac{c - d}{m} = \frac{2 + 2 i}{- 1 + i}$
الإصلاحالدرجة: 5+5
نضرب البسط والمقام بمرافق المقام $- 1 - i$ ، ونُصلح كلّاً منهما على حدة، و $i^{2} = - 1$ :
$\begin{array}{c} (2 + 2 i) (- 1 - i) \\ = - 2 - 2 i - 2 i + 2 = - 4 i \\ (- 1 + i) (- 1 - i) \\ = 1 - i^{2} = 2 \end{array}$
النتيجةالدرجة: 5
نقسم. والعدد $- 2 i$ صورته على الجهة السالبة من محور التراتيب، فزاويته $- \frac{π}{2}$ :
$\begin{array}{c} \frac{c - d}{m} = \frac{- 4 i}{2} = - 2 i \\ \arg \frac{c - d}{m} = - \frac{π}{2} (2 π) \end{array}$
الجوابالدرجة: 5
البسط $c - d$ يمثّل $\vec{D C}$ ، والمقام $m = m - 0$ يمثّل $\vec{O M}$ . وزاوية خارج القسمة قياسٌ للزاوية من شعاع المقام إلى شعاع البسط، كما في درس «استعمال العدد العقديّ الممثّل لشعاع»، الجزء الثاني:
$(\vec{O M}, \vec{D C}) = - \frac{π}{2} (2 π)$
فالشعاعان $\vec{O M}$ و $\vec{D C}$ متعامدان، والمستقيمان $(O M)$ و $(D C)$ متعامدان.
في سلّم التصحيح: «يمكن الاعتماد على الرسم مع التعليل الهندسي في الخطوات الثانية والسابعة»، أي يجوز هنا تعليلٌ هندسيّ: $O D = O C = 2$ لأنّ الدوران يحفظ البعد عن مركزه، و $M$ منتصف $[D C]$ لأنّ $\frac{c + d}{2} = - 1 + i = m$ ، فالمستقيم $(O M)$ محور القطعة $[D C]$ .