الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

المسافة في الفراغ

ثلاث كلماتٍ تسبق كلّ صيغةٍ في هذا الدرس: في معلمٍ متجانس

الأشعّة في الفراغ . الوحدة 1 . الدرس 4

بسيطة

في الدرس السابق اخترنا معلماً من أحرف متوازي سطوح، ولم يكن مطلوباً أن تكون تلك الأحرف متعامدة ولا متساوية الطول، وكان ذلك مسموحاً تماماً. الإحداثيّات لا تطلب أكثر من أساسٍ غير مرتبط خطّياً. أمّا الأطوال فتطلب أكثر. هذا الدرس يضيف الشرط الناقص، ويسمّيه: المعلم المتجانس. ومن اللحظة التي يتحقّق فيها، يصير كلّ طولٍ وكلّ مسافةٍ حساباً بثلاثة فروق وجذرٍ واحد. ومن دونه لا تصلح الصيغة أصلاً، مهما بدت مألوفة.

المعلم المتجانس

الكتاب يبدأ الصفحة بوضعٍ صامت: أربع نقاط $O$ و $I$ و $J$ و $K$ ، ومنها الأشعّة $\vec{O I} = \vec{i}$ و $\vec{O J} = \vec{j}$ و $\vec{O K} = \vec{k}$ . لا برهان ولا تعليل، مجرّد تسمية. لكنّها تسميةٌ لازمة: الشرطان الآتيان يتكلّمان عن مستقيماتٍ وعن أطوال، وكلاهما يحتاج نقاطاً لا أشعّةً مجرّدة.

تعريف 3

$(O I) ⊥ (O J), (O I) ⊥ (O K), (O J) ⊥ (O K)$ الشرط الأوّل: المستقيمات $(O I)$ و $(O J)$ و $(O K)$ متعامدة مثنى، أي كلّ اثنين منها متعامدان.
$∥ \vec{i} ∥ = ∥ \vec{j} ∥ = ∥ \vec{k} ∥ = 1$ الشرط الثاني: نظيم كلٍّ من الأشعّة الثلاثة يساوي واحدة الطّول. وعندئذ نقول إنّ المعلم $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ معلمٌ متجانس.

الكتاب، الصفحة 18

انتبه: الكتاب يكتب «الشّرطان» بصيغة المثنّى، فهما شرطان معاً لا أحدهما. التعامد وحده لا يكفي: ثلاثة أشعّة متعامدة أطوالها $2$ و $3$ و $5$ تصلح أساساً ولا تصلح معلماً متجانساً. وطول الوحدة وحده لا يكفي: ثلاثة أشعّة طول كلٍّ منها $1$ قد تكون مائلة بعضها على بعض. وانتبه إلى «مثنى»: المطلوب ثلاثة تحقّقات لا اثنان، لأنّ للأشعّة الثلاثة ثلاثة أزواج.

تذكّر: معلم الدرس السابق $(A; \vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A I})$ لم يصر خطأً الآن، وهو ما زال معلماً صحيحاً تماماً. لكنّه في الغالب ليس متجانساً، لأنّ أحرف متوازي السّطوح لا تُلزَم بزاويةٍ ولا بطول. النتيجة عمليّة: في ذلك المعلم تحسب الإحداثيّات ولا تحسب الأطوال. اقرأ صدر أيّ مبرهنةٍ قبل أن تستعملها.

أشعّة $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و $\vec{c}$ متعامدة مثنى، وأطوالها $1$ و $1$ و $3$ . أيكون $(O; \vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ معلماً متجانساً؟

كيف أبدأ؟ عُدّ الشروط في تعريف 3 من هذا الدرس قبل أن تجيب. الكتاب يكتبها بصيغة المثنّى لسبب. ثمّ اسأل عن كلّ شرطٍ على حدة: أمتحقّقٌ هو في هذه الحالة أم لا؟

أ)لا، فالشرط الثاني ساقط: لا بدّ أن يكون كلّ نظيمٍ مساوياً $1$
ب)نعم، فالتعامد هو الشرط الجوهريّ
ج)نعم، ما دام شعاعان من الثلاثة طولهما $1$

أ. نعم. التعامد متحقّق، وطول الوحدة ليس كذلك لأنّ $∥ \vec{c} ∥ = 3$ . الشرطان معاً أو لا شيء، وهذه الجملة تصلح أساساً للإحداثيّات لكن لا تصلح لحساب الأطوال.

النظيم والمسافة

الآن يأتي ربح الشرط. الصيغتان الآتيتان هما كلّ ما تحتاجه لحساب طولٍ في الفراغ، والثانية ليست جديدةً بل هي الأولى مطبَّقةً على $\vec{A B}$ .

مبرهنة 6

$∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ① في معلمٍ متجانس، إذا كانت مركّبات $\vec{u}$ هي $(a, b, c)$ ، فإنّ نظيمه يُعطى بهذه العلاقة.
$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ ② وفي حالة نقطتين $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ ، تكون المسافة بينهما كذلك. وهذا ليس قانوناً ثانياً، بل الأوّل مطبَّقاً على $\vec{A B}$ لأنّ $A B = ∥ \vec{A B} ∥$ .

الكتاب، الصفحة 18

انتبه: الكتاب يضع «في معلمٍ متجانس» بخطٍّ غليظٍ أزرق في صدر المبرهنة، وهذا ليس زخرفاً. $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ليست صيغةً عامّة، بل نتيجةُ كون الأساس متعامداً ووحدويّ الأطوال. في معلمٍ مائل هي خاطئة، لا ناقصة.

النظيم هو قطر متوازي المستطيلات:

O N

قطر قاعدته و

N M

ارتفاعه. وفيثاغورس يُستعمل مرّتين، مرّةً في القاعدة ومرّةً في المثلّث

O N M

تذكّر: برهان الكتاب يكتب سطراً واحداً: « $O N^{2} = a^{2} + b^{2}$ و $N M^{2} = c^{2}$ ». الثانية قراءةٌ مباشرة، أمّا الأولى فهي فيثاغورس نفسه، مطبَّقاً في المستوي $(O; \vec{i}, \vec{j})$ ، ولا يقول الكتاب ذلك. ثمّ يأتي فيثاغورس مرّةً ثانية في المثلّث $O N M$ القائم في $N$ ، فيكون $O M^{2} = O N^{2} + N M^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . فيثاغورس مرّتان، مذكورٌ مرّةً واحدة.

في معلم الدرس السابق $(A; \vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A I})$ ، مركّبات شعاعٍ هي $(1, 1, 1)$ . أطوله $\sqrt{3}$ ؟

كيف أبدأ؟ لا تنظر إلى الأعداد، بل إلى صدر مبرهنة 6. ما الشرط المكتوب هناك بخطٍّ غليظ؟ ثمّ اسأل: هل تحقّقه أحرف متوازي سطوح؟

أ)نعم، فالصيغة تنطبق على أيّ مركّبات
ب)نعم، ما دامت المركّبات الثلاث متساوية
ج)لا يمكن الحكم: الصيغة تشترط معلماً متجانساً، ولم يُعطَ أنّ هذا المعلم كذلك

ج. نعم، وهذا هو درس الصفحة كلّها. في ذلك المعلم تحسب الإحداثيّات بلا مشكلة، أمّا الطول فيلزمه شرطٌ إضافيّ لم يُفرض هناك.

انتبه: في هذا البرهان وحده تظهر الأقواس أربع مرّاتٍ بأربعة معانٍ: $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ معلم بثلاثة أشعّة، و $(O; \vec{i}, \vec{j})$ مستوٍ بشعاعين، و $(O; \vec{k})$ مستقيمٌ بشعاعٍ واحد، و $(N M)$ مستقيمٌ بنقطتين. العلامة نفسها، والمُميِّز الوحيد هو عدد ما بداخل القوس. وانتبه أيضاً إلى الفاصلة المنقوطة: هي تفصل المبدأ عن الأساس، وليست فاصلةً بين مركّبات.

ماذا يعني الرمز $(O; \vec{k})$ في برهان الصفحة 18؟

كيف أبدأ؟ لا تسأل عن الحروف، بل عُدّ ما بعد الفاصلة المنقوطة. كم شعاعاً هناك؟ وما الذي يتعيّن بنقطةٍ وشعاعٍ واحد؟

أ)معلمٌ في الفراغ مبدؤه $O$
ب)المستقيم المارّ بـ $O$ في منحى $\vec{k}$
ج)النّقطة $O$ مضافاً إليها الشعاع $\vec{k}$

ب. نعم. نقطةٌ وشعاعٌ واحد يعيّنان مستقيماً، ونقطةٌ وشعاعان يعيّنان مستوياً، ونقطةٌ وثلاثة أشعّة تعيّن معلماً. القوس واحد والمعنى ثلاثة.

الحساب والجذور

التطبيق المباشر لا يحتاج شرحاً: إذا كان $\vec{u} = 3 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}$ ، فمركّباته $(3, - 2, 1)$ ونظيمه $\sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ . وإذا كانت $A (4, - 1, 3)$ و $B (2, 3, - 2)$ ، فإنّ $A B = \sqrt{(- 2)^{2} + 4^{2} + (- 5)^{2}} = \sqrt{45}$ . ما يحتاج انتباهاً هو ما يحدث بعد الجذر.

كيف يُسلَّم الجذر

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$ الكتاب لا يتوقّف عند $\sqrt{45}$ ، بل يخرج المربّع الكامل. هذه هي الصورة التي ينتظرها المصحّح.
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2}$ الشيء نفسه مع $32$ ، ويتكرّر ثلاث مرّاتٍ في المثال الآتي، في $A B$ و $A C$ و $B C$ .
$\sqrt{\frac{123}{9}} = \frac{\sqrt{123}}{3}$ أمّا الكسر فيُجذَّر مقامه وحده، لأنّ $9$ مربّعٌ كامل و $123$ ليس كذلك. ولاحظ أنّ الكتاب يُبقي $\frac{123}{9}$ ولا يختصرها، حتّى تبقى التّسعة ظاهرة.

الكتاب، الصفحة 19

انتبه: ثلاثة أخطاء تتكرّر هنا. الأوّل: النظيم ليس مجموع المركّبات؛ $\vec{u} (2, - 2, 3)$ نظيمه $\sqrt{17}$ لا $3$ . الثاني: المركّبة الغائبة صفرٌ، لا عدم؛ $\vec{v} = \vec{i} + 5 \vec{k}$ مركّباته $(1, 0, 5)$ وفي الفراغ لكلّ شعاعٍ ثلاثة أعداد. الثالث: $\frac{\sqrt{123}}{3}$ ليس $\sqrt{41}$ ؛ الاختصار داخل الجذر يعطي $\sqrt{\frac{41}{3}}$ ، وهو العدد نفسه. أمّا $\sqrt{41}$ فشيءٌ آخر تماماً.

ما نظيم $\vec{v} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ في معلمٍ متجانس؟

كيف أبدأ؟ اكتب المركّبات الثلاث كاملةً قبل أن تحسب. الفراغ ذو ثلاثة أبعاد، فكم عدداً يلزم لوصف شعاعٍ فيه؟ وما قيمة المركّبة التي لم تُذكر؟

أ) $\sqrt{5}$
ب) $\sqrt{14}$
ج) $\sqrt{13}$

ج. نعم. المركّبات هي $(2, - 3, 0)$ ، والمركّبة الثالثة معدومة لا غائبة، فيكون النظيم $\sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13}$ ، وهو غير قابلٍ للتبسيط.

من ستّة أعداد إلى شكل المجسّم

المثال الآتي هو قلب الدرس، لأنّه يفعل شيئاً لا تفعله الصيغة وحدها: يترجم ستّة أعدادٍ إلى وصفٍ هندسيّ. لا رسم في الكتاب هنا، والأعداد وحدها هي التي تقرّر الشكل.

في معلمٍ متجانس $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ نتأمّل النّقاط $A (2, 3, 2)$ و $B (- 2, - 1, 2)$ و $C (- 2, 3, - 2)$ و $D (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{1}{3})$ . ① احسب المسافات الستّ. ② بيّن طبيعة وجوه رباعي الوجوه $A B C D$ .

A B, A C, A D, B C, B D, C D

1. ① الأحرف الثلاثة من القاعدة نربّع الفروق ونجمع. الثلاثة تعطي العدد نفسه، وهذه أوّل معلومةٍ عن الشكل.
$A B^{2} = (- 4)^{2} + (- 4)^{2} + 0^{2} = 32, A C^{2} = 32, B C^{2} = 32$
2. ② الأحرف الثلاثة إلى $D$ هنا تدخل الكسور. نُبقي المقام $9$ ولا نختصر، كما يفعل الكتاب، لأنّ التّسعة مربّعٌ كامل وستُجذَّر وحدها.
$A D^{2} = \frac{25}{9} + \frac{49}{9} + \frac{49}{9} = \frac{123}{9}, B D^{2} = C D^{2} = \frac{123}{9}$
3. ③ تسليم الجذور $32 = 16 \times 2$ فيخرج $4$ ، و $123$ لا يقبل مربّعاً كاملاً فيبقى تحت الجذر، ويخرج المقام وحده.
$A B = A C = B C = 4 \sqrt{2}, A D = B D = C D = \frac{\sqrt{123}}{3}$
4. ④ القاعدة ثلاثة أطوالٍ متساوية في المثلّث $A B C$ ، فهو متساوي الأضلاع. هذا يُقرأ من السطر الأوّل مباشرةً.
$A B = A C = B C = 4 \sqrt{2} \neq \frac{\sqrt{123}}{3} = A D = B D = C D$
5. ⑤ الوجه الجانبيّ، وأين يُختبر القائم $A D = B D$ و $B D \neq A B$ ، فالمثلّث $A B D$ متساوي السّاقين رأسه $D$ . ولاختبار القائم يكفي الرأس $D$ وحده، لأنّ $A B$ هي أطول الأضلاع والزاوية القائمة تقابل أطول ضلعٍ دائماً.
$D A^{2} + D B^{2} = \frac{246}{9} = \frac{82}{3} \neq 32 = A B^{2}$
6. ⑥ الوجوه الثلاثة متطابقة لكلٍّ من $A B D$ و $A C D$ و $B C D$ الأضلاع نفسها: $4 \sqrt{2}$ ثمّ $\frac{\sqrt{123}}{3}$ مرّتين. تساوي الأضلاع الثلاثة يكفي للتطابق، ولا حاجة إلى شيءٍ آخر.
${4 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{123}}{3}, \frac{\sqrt{123}}{3}}$

الكتاب يقول «مثلّثاتٌ طبوقة» ولا يبرهن. البرهان في سطرٍ واحد: حالة ضلعٍ فضلعٍ فضلع، والأضلاع كلّها محسوبةٌ في ①. فلا يلزم حسابٌ جديد، بل قراءةُ الأعداد التي بين يديك. وهذه هي الطريقة عموماً: احسب الأطوال أوّلاً كلّها، ثمّ اقرأ الشكل منها، ولا تعد إلى الإحداثيّات.

(A B, A D, B D) = (A C, A D, C D) = (B C, B D, C D)

القاعدة

A B C

متساوية الأضلاع بضلع

4 \sqrt{2}

، والأحرف الثلاثة إلى

D

متساوية وأقصر، طول كلٍّ منها

\frac{\sqrt{123}}{3}

. أُدير الشكل ليُقرأ، والدوران لا يغيّر مسافة.

مجموعات نقاطٍ تُعرَّف بالمسافة

في آخر الدرس يستعمل الكتاب مفهومين لم يعرّفهما في متن الدرس: «الكرة» و«المستوي المحوري». كلاهما يظهر في حاشيةٍ بجانب مصباح، لا في إطار تعريف. وهما في الحقيقة الفكرة نفسها مرّتين: مجموعةُ نقاطٍ يُحدّدها شرطٌ على المسافة.

الكرة ومعادلتها

$S = {M | O M^{2} = R^{2}}$ الكرة $S$ التي مركزها $O$ ونصف قطرها $R$ هي مجموعة نقاط الفراغ التي تبعد عن $O$ مسافةً تساوي $R$ . هذا نصّ الحاشية، وهو التعريف الوحيد الذي يقدّمه الكتاب.
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ وبتطبيق مبرهنة 6 على $O M$ تصير معادلة الكرة التي مركزها المبدأ بهذه الصورة. نعمل بالمربّعات لا بالجذور، فالطرفان مربّعان.

الكتاب، الصفحة 20

في معلمٍ متجانس، ولتكن $A$ النّقطة $(1, 2, - 4)$ . ① جد معادلةً للكرة $S$ التي مركزها $O$ ونصف قطرها $5$ . ② جد معادلةً للكرة $S^{'}$ التي مركزها $O$ وتمرّ بالنّقطة $A$ .

O M^{2} = R^{2}

1. ① النّقطة الجارية نأخذ نقطةً عامّة $M (x, y, z)$ ونترجم الانتماء إلى $S$ إلى شرطٍ على المسافة. «نصف قطرها يساوي $5$ » يعني $R = 5$ ، لا القطر.
$M \in S ⟺ O M = 5 ⟺ O M^{2} = 25$
2. ② المسافة إلى المبدأ مركّبات $\vec{O M}$ هي إحداثيّات $M$ نفسها، لأنّ البداية هي المبدأ. فتصير المعادلة جاهزة.
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
3. ③ الكرة الثانية: ما هو نصف قطرها إذا كانت $S^{'}$ مركزها $O$ وتمرّ بـ $A$ ، فنصف قطرها هو $O A$ بالضبط. هذه هي الخطوة التي تُترجم الكلام إلى عدد.
$R^{'} = O A$
4. ④ لا تُجذّر ما ستربّعه نحسب $O A^{2}$ ونتوقّف. أخذُ الجذر ثمّ تربيعه خطوتان زائدتان، والكتاب يمرّ عليهما مباشرةً.
$O A^{2} = 1^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2} = 21$
5. ⑤ المعادلة الثانية الطرف الأيمن هو $R^{' 2}$ ، وقد حسبناه توّاً.
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 21$

الصيغة القصيرة $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ ليست معادلة الكرة عموماً، بل معادلة الكرة التي مركزها المبدأ، وعنوان المثال في الكتاب يقول ذلك صراحةً. إذا انتقل المركز إلى $Ω (α, β, γ)$ فلا بدّ من صيغة المسافة كاملة، أي ${(x - α)}^{2} + {(y - β)}^{2} + {(z - γ)}^{2} = R^{2}$ .

{(x - α)}^{2} + {(y - β)}^{2} + {(z - γ)}^{2} = R^{2}

تذكّر: والفكرة نفسها تعطي المفهوم الثاني: المستوي المحوري للقطعة $[A B]$ هو مجموعة النّقاط التي تبعد عن طرفيها المسافة نفسها، أي ${M | M A = M B}$ . في المستوي كان هذا مستقيماً، أمّا في الفراغ فهو مستوٍ كامل، والاسم نفسه يقوله. وفي الاختبار نقارن $M A^{2}$ بـ $M B^{2}$ ولا نُجذّر، لأنّ المسافتين موجبتان فتساوي مربّعيهما يكافئ تساويهما.

كرةٌ مركزها $Ω (1, 0, 2)$ ونصف قطرها $3$ . أمعادلتها $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ؟

كيف أبدأ؟ عُد إلى عنوان المثال في الكتاب، فهو يحمل شرطاً في كلمتين. ثمّ اكتب شرط الانتماء بنفسك: ما المسافة التي يجب أن تساوي $3$ ، ومن أيّ نقطة تُقاس؟

أ)لا، الصيغة القصيرة تخصّ المركز في المبدأ وحده
ب)نعم، ونصف القطر يظهر مربّعاً في الطرف الأيمن
ج)نعم، لأنّ المعادلة لا تتعلّق بموضع المركز

أ. نعم. الشرط هنا $Ω M = 3$ لا $O M = 3$ ، فتكون المعادلة ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ . العنوان في الكتاب يقول «كرة مركزها المبدأ»، وهذه ليست كذلك.