الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ

أداةٌ واحدة تُثبت الاستقامة والاستواء وتقاطع المستقيمات

الأشعّة في الفراغ . الوحدة 1 . الدرس 5

بسيطة

هذا الدرس لا يبدأ من الصفر: مركز الأبعاد المتناسبة درسته في الصفّ الثاني الثانوي، ونقطتان أو ثلاث لا تحتاج شيئاً جديداً، لأنّ كلّ ما يجري هناك يقع على مستقيمٍ أو في مستوٍ. الجديد هو حالة أربع نقاط، وهي وحدها التي تخرج من المستوي إلى الفراغ. وما تكسبه في المقابل أداةٌ واحدة تحلّ ثلاثة أنواعٍ من المسائل: أن تُثبت أنّ نقاطاً على استقامة واحدة، أو في مستوٍ واحد، أو أنّ مستقيمات تتقاطع. والقاعدة التي تحكم كلّ ذلك بسيطة: عدد النقاط التي تجمعها هو الذي يقرّر ما أثبتّه.

التعميم وشرطه الوحيد

يمرّ الكتاب على التعميم في سطر: «يُعمَّم تعريف مركز الأبعاد المتناسبة الّذي درسناه في الصّفّ الثّاني الثّانوي إلى حالة الفراغ دون عناء»، ثمّ يضيف «سنهتمُّ إذن بمركز جملة مؤلّفة من أربع نقاط». النقطتان والثلاث ليستا جديدتين، والأربع هي الدرس.

تعريف 4

$α \vec{G A} + β \vec{G B} + γ \vec{G C} + δ \vec{G D} = \vec{0}$ مركز الأبعاد المتناسبة $G$ للنّقاط المثقّلة الأربع $(A, α)$ و $(B, β)$ و $(C, γ)$ و $(D, δ)$ هو النّقطة الوحيدة التي تحقّق هذه العلاقة.
$α + β + γ + δ \neq 0$ وهذا هو الشرط الوحيد. لا يُطلب من النّقاط الأربع أن تكون في أوضاعٍ خاصّة: لك أن تأخذها على استقامةٍ واحدة أو في مستوٍ واحد أو في الفراغ.

الكتاب، الصفحة 21

تذكّر: الوجود والوحدانيّة لا يُبرهنان هنا. الكتاب يكتب صراحةً: «إنَّ إثبات وجود ووحدانيّة النّقطة $G$ ، مماثلٌ تماماً لحالة ثلاث نقاط». هذا تصريحٌ بالإحالة لا برهان، وهو أنظف من برهانٍ يدّعي أكثر ممّا يُظهر. إن أردت التأكّد، أعد برهان النّقاط الثلاث بإضافة حدٍّ رابع؛ الخطوات هي هي.

انتبه: انتبه إلى ما ليس ممنوعاً. كلّ معاملٍ على حدة يجوز أن يكون سالباً، ويجوز أن يكون معدوماً. المثال المحلول في آخر الدرس يستعمل $- 2$ بلا تحفّظ، ومجموع معاملاته $1 + (- 2) + 3 = 2$ . الممنوع الوحيد أن يكون المجموع معدوماً، وعندها لا وجود لـ $G$ أصلاً. احسب المجموع قبل أن تنطق بعبارة «مركز الأبعاد المتناسبة».

أيّ الجُمل الآتية لا يوجد لها مركز أبعادٍ متناسبة؟

كيف أبدأ؟ لا تنظر إلى إشارات المعاملات واحداً واحداً، فذلك ليس الشرط. الشرط عمليّةٌ واحدة تُجريها على الأربعة معاً. أجرِها على كلّ جملة.

أ) $(A, 3), (B, - 2), (C, 1), (D, - 1)$
ب) $(A, 5), (B, - 3), (C, 0), (D, - 2)$
ج) $(A, 0), (B, 0), (C, 0), (D, 4)$

ب. نعم: $5 - 3 + 0 - 2 = 0$ . وهذه الحالة الوحيدة الممنوعة. لاحظ أنّ المعامل المعدوم في $C$ ليس هو المشكلة، بل المجموع.

المبرهنة التي تُستعمل في كلّ حساب

التعريف يضع $G$ في طرف الأشعّة كلّها، وهذا لا ينفع في الحساب لأنّ $G$ هي المجهول. المبرهنة الآتية تحرّر نقطة البداية، وهي لذلك أداة العمل في كلّ تمرينٍ من تمارين هذا الدرس.

مبرهنة 7

$α \vec{M A} + β \vec{M B} + γ \vec{M C} + δ \vec{M D} = (α + β + γ + δ) \vec{M G}$ إذا كانت $G$ مركز الأبعاد المتناسبة للنّقاط الأربع، فإنّ هذه العلاقة تتحقّق أيّاً كانت النّقطة $M$ .

الكتاب، الصفحة 21

تذكّر: «أياً كانت النقطة $M$ » هي أقوى ما في المبرهنة، لا تفصيلاً فيها. $M$ ليست معطىً في المسألة بل اختياراً منك، وحسن الاختيار يختصر الحلّ: خذ $M = A$ لتحذف الحدّ الأوّل، أو $M = O$ إن كنت في معلمٍ وتريد إحداثيّات، أو $M = G$ لتعود إلى التعريف. الحدّ الذي تختار بدايته يصير $\vec{0}$ ويسقط.

تريد إحداثيّات $G$ في معلمٍ مبدؤه $O$ . أيّ نقطةٍ تختار لـ $M$ ؟

كيف أبدأ؟ اسأل: أيّ الأشعّة تعرف مركّباتها مباشرةً من الإحداثيّات المعطاة؟ الشعاع الذي بدايته المبدأ مركّباته هي إحداثيّات نهايته، بلا حساب.

أ) $M = G$ ، فتعود العلاقة إلى التعريف
ب) $M = A$ ، فيسقط الحدّ الأوّل
ج) $M = O$ ، مبدأ المعلم

ج. نعم. عندئذ $\vec{O G}$ مركّباته هي إحداثيّات $G$ مباشرةً، وكذلك $\vec{O A}$ والباقي. فتُقرأ الإحداثيّات من الطرفين بلا شعاعٍ وسيط.

الخاصة التجميعية، وأين يقع الشَرَك

المبرهنة الآتية هي التي تجعل مسائل الفراغ قابلةً للحلّ: تسمح لك بأن تستبدل بثلاثٍ من النّقاط الأربع نقطةً واحدة. لكنّ فيها تفصيلاً يقرّر كلّ ما بعده.

مبرهنة 8، الخاصة التجميعية

$α \vec{H A} + β \vec{H B} + γ \vec{H C} = \vec{0}$ لتكن $H$ مركز الأبعاد المتناسبة لثلاثٍ من النّقاط الأربع، مثلاً $(A, α)$ و $(B, β)$ و $(C, γ)$ .
$(α + β + γ) \vec{G H} + δ \vec{G D} = \vec{0}$ عندئذ تكون $G$ مركز الأبعاد المتناسبة للنّقطتين $(H, α + β + γ)$ و $(D, δ)$ . أي إنّ أربع نقاطٍ صارت نقطتين.

الكتاب، الصفحة 21

انتبه: هنا يقع الخطأ الأكثر كلفةً في الدرس كلّه: $H$ ترث مجموع معاملات الثلاثة، أي $α + β + γ$ ، ولا تأخذ المعامل $1$ . في مثال رباعي الوجوه تصير $G^{'}$ هي $(G^{'}, 3)$ لا $(G^{'}, 1)$ ، لأنّها تنوب عن ثلاث نقاطٍ معامل كلٍّ منها $1$ . ومن يضع $1$ يحصل على منتصف $[G^{'} D]$ بدل ربعه، ويبني كلّ ما بعده على موضعٍ خاطئ.

تذكّر: وثمّة شرطٌ لا تجده في نصّ المبرهنة: لكي توجد $H$ أصلاً، لا بدّ أن يكون $α + β + γ \neq 0$ . المبرهنة تشترط المجموع الرباعيّ فقط. الشرط الثلاثيّ مختبئٌ في أنّ $H$ سُمّيت «مركز الأبعاد المتناسبة»، وهذا الاسم يفترض ألّا يكون مجموع المعاملات معدوماً، كما تقول ملاحظة الكتاب بعد مبرهنة 7: «عندما نقول إنَّ $G$ هي مركز الأبعاد المتناسبة لنقاط مثقّلة، فإنَّ قولنا هذا يفترض أنَّ مجموع المعاملات أو الأمثال لا يساوي الصّفر». فإن سقط، اجمع ثلاثاً أخرى: لك أربع طرقٍ للتجميع، ويكفي أن تصلح واحدة.

ملاحظة

$(α + β) \vec{G H} + (γ + δ) \vec{G K} = \vec{0}$ إذا كانت $H$ مركز $(A, α)$ و $(B, β)$ ، و $K$ مركز $(C, γ)$ و $(D, δ)$ ، صارت $G$ مركز $(H, α + β)$ و $(K, γ + δ)$ . وهذه الصورة هي التي تُثبت الاستقامة، لأنّها تنتهي بنقطتين.

الكتاب، الصفحة 21

$G$ مركز $(A, 2)$ و $(B, 1)$ و $(C, 1)$ و $(D, 4)$ ، وجمعتَ الثلاثة الأولى في نقطةٍ $H$ . بأيّ معاملٍ تدخل $H$ ؟

كيف أبدأ؟ اسأل عن كم نقطةٍ تنوب $H$ ، وما معامل كلٍّ منها. المعامل الجديد ليس عدد النقاط ولا الواحد، بل شيءٌ ثالث تقرؤه من نصّ المبرهنة.

أ)بالمعامل $4$ ، أي $2 + 1 + 1$
ب)بالمعامل $1$ ، فهي نقطةٌ واحدة
ج)بالمعامل $3$ ، أي عدد النقاط المجموعة

أ. نعم. $H$ ترث مجموع معاملات النّقاط التي تنوب عنها. فتصير المسألة: $G$ مركز $(H, 4)$ و $(D, 4)$ ، أي $G$ منتصف $[H D]$ .

مركز ثقل رباعي الوجوه

$A B C D$ رباعي وجوه، و $G$ مركز الأبعاد المتناسبة للنّقاط $(A, 1)$ و $(B, 1)$ و $(C, 1)$ و $(D, 1)$ . عيّن موضع $G$ .

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}

1. ① اختر ثلاثاً من الأربع هذا قرارٌ منك لا معطى من المسألة. اجمع $A$ و $B$ و $C$ ، فمركزها $G^{'}$ هو مركز ثقل المثلّث $A B C$ لأنّ معاملاتها كلّها $1$ . وتحقّق أوّلاً: $1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ، فـ $G^{'}$ موجودة.
$\vec{G^{'} A} + \vec{G^{'} B} + \vec{G^{'} C} = \vec{0}$
2. ② المعامل الذي ترثه $G^{'}$ بالخاصّة التّجميعيّة تصير أربع نقاطٍ نقطتين. والمعامل $3$ هو بيت القصيد: ثلاث نقاطٍ معامل كلٍّ منها $1$ تعطي نائباً معامله $3$ .
$3 \vec{G G^{'}} + \vec{G D} = \vec{0}$
3. ③ من النقطتين إلى الموضع أقحم $G^{'}$ في الحدّ الثاني بعلاقة شال: $\vec{G D} = \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} D}$ . فيصير الطرف $4 \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} D} = \vec{0}$ ، ومنه بقلب الشعاع الأوّل:
$\vec{G^{'} G} = \frac{1}{4} \vec{G^{'} D}$
4. ④ اقرأ الكسر بدايةً واتّجاهاً المقام $4$ هو مجموع المعاملات $3 + 1$ ، والقياس من $G^{'}$ لا من $G$ . فتقع $G$ على القطعة $[G^{'} D]$ على رُبعها من جهة $G^{'}$ ، أي على ثلاثة أرباعها من جهة الرأس $D$ .
$\vec{D G} = \frac{3}{4} \vec{D G^{'}}$
5. ⑤ التسمية والنتيجة تُسمّى $G$ مركز ثقل رباعي الوجوه $A B C D$ ، وتُسمّى $[G^{'} D]$ المتوسّط المرسوم من $D$ . والحساب نفسه من $A$ أو $B$ أو $C$ يعطي النقطة نفسها، فالمتوسّطات الأربعة تتلاقى في $G$ ، وهي تقسم كلّ متوسّطٍ بنسبة $3 : 1$ من جهة الرأس، أي $D G = 3 G G^{'}$ . ويكتب الكتاب الأمر بنسبة المتوسّط كلّه إلى القطعة العليا: $\frac{D G^{'}}{D G} = \frac{4}{3}$ .
$\frac{D G^{'}}{D G} = \frac{4}{3}$

الطريقة كلّها في سطرين: اجمع ثلاثاً في نائبٍ واحد، وأعطِ النائب مجموع معاملاتها. ثمّ لا يبقى إلّا نقطتان، ومسألة نقطتين تُحلّ دائماً بكسرٍ على القطعة الواصلة بينهما، مقامه مجموع المعاملين.

(α + β + γ) \vec{G H} + δ \vec{G D} = \vec{0}

G^{'}

مركز ثقل القاعدة، تلتقي فيه متوسّطاتها الثلاثة. و

G

على المتوسّط

[G^{'} D]

على رُبعه من جهة

G^{'}

تذكّر: ولتكن $I$ منتصف $[A D]$ و $J$ منتصف $[B C]$ ، أي حرفين متقابلين. عندئذ $I$ مركز $(A, 1)$ و $(D, 1)$ ، و $J$ مركز $(B, 1)$ و $(C, 1)$ ، فبالتجميع بالأزواج تصير $G$ مركز $(I, 2)$ و $(J, 2)$ ، أي منتصف $[I J]$ . والحساب نفسه يمشي على الزوجين الآخرين من الأحرف المتقابلة: القطع الثلاث الواصلة بين منتصفات الأحرف المتقابلة متناصفة كلّها، ونقطة التقائها هي $G$ .

لماذا أثبت الحساب أنّ $I$ و $J$ و $G$ تقع على استقامة واحدة؟

كيف أبدأ؟ انظر إلى الصورة التي انتهى إليها الحساب، وعُدّ النقاط التي بقيت فيها. ثمّ اسأل: ما الشكل الهندسيّ الذي تعيّنه نقطتان؟

أ)لأنّ الحساب انتهى بنقطتين فقط، $(I, 2)$ و $(J, 2)$ ، ومركزهما يقع على $(I J)$
ب)لأنّ $I$ و $J$ منتصفان، والمنتصفات تقع دائماً على استقامةٍ مع المركز
ج)لأنّ $G$ مركز أربع نقاط، وكلّ مركزٍ يقع على استقامةٍ مع أيّ نقطتين منها

أ. نعم، وهذا هو المعيار كلّه: عدد النقاط الباقية هو ما يقرّر ما أثبتّه. نقطتان تعطيان مستقيماً، وقد تساوى المعاملان هنا فوقعت $G$ في المنتصف بالذات.

نقطتان تعطيان استقامة، وثلاثٌ تعطي مستوياً

يسأل الكتاب في آخر الدرس: «ماذا يفيد مفهوم مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ؟» ويجيب بثلاثة أسطر: يفيد في إثبات وقوع نقاطٍ على استقامة واحدة، وفي إثبات وقوعها في مستوٍ واحد، وفي إثبات تقاطع مستقيمات. والثلاثة طريقةٌ واحدة تُقرأ من عدد النقاط الباقية.

تذكّر: إن انتهيتَ إلى $G$ مركز نقطتين، فقد أثبتّ الاستقامة. وإن انتهيتَ إلى $G$ مركز ثلاث نقاط، فقد أثبتّ الاستواء فقط، ولا يجوز أن تدّعي أكثر. الفرق ليس في قوّة البرهان بل في ما يعيّنه العدد: نقطتان تعيّنان مستقيماً، وثلاثٌ تعيّن مستوياً.

$A B C D E F G H$ مكعّب، والنقطة $K$ معرّفة بالعلاقة $2 \vec{A K} = \vec{C B} + \vec{C A} + 3 \vec{A G}$ . أثبت أنّ $K$ تقع في المستوي $(B C G)$ ، ثمّ ارسمها.

2 \vec{A K} = \vec{C B} + \vec{C A} + 3 \vec{A G}

1. ① سمِّ الهدف قبل أن تحسب المطلوب أن تقع $K$ في $(B C G)$ ، أي أن تكون $K$ مركز أبعادٍ متناسبة لـ $B$ و $C$ و $G$ . إذن المطلوب علاقةٌ بين $\vec{K B}$ و $\vec{K C}$ و $\vec{K G}$ وحدها. وهذا ما يحدّد نقطة الأساس: $K$ هي المجهول، فهي التي تصير بدايةً لكلّ شعاع.
$a \vec{K B} + b \vec{K C} + c \vec{K G} = \vec{0}$
2. ② انقل كلّ شيء إلى طرفٍ واحد خطوةٌ شكليّة لكنّها لازمة: ما دام الطرف الأيمن ليس $\vec{0}$ ، فلا شيء يشبه علاقة مركزٍ بعد.
$2 \vec{A K} - \vec{C B} - \vec{C A} - 3 \vec{A G} = \vec{0}$
3. ③ أقحم $K$ في كلّ حدّ بعلاقة شال يُكتب كلّ شعاعٍ مارّاً بـ $K$ . انتبه إلى إشارات الطرح: الناقص أمام $\vec{C B}$ يوزَّع على الحدّين الناتجين عنه، وهنا يضيع أكثر ما يضيع.
$2 \vec{A K} - \vec{C K} - \vec{K B} - \vec{C K} - \vec{K A} - 3 \vec{A K} - 3 \vec{K G} = \vec{0}$
4. ④ اجمع الحدود المتشابهة الحدود $2 \vec{A K}$ و $- \vec{K A}$ و $- 3 \vec{A K}$ يلغي بعضها بعضاً لأنّ $- \vec{K A} = + \vec{A K}$ ، و $- \vec{C K}$ مرّتين تعطي $+ 2 \vec{K C}$ . فيبقى $- \vec{K B} + 2 \vec{K C} - 3 \vec{K G} = \vec{0}$ ، وبضرب الطرفين في $- 1$ نصل إلى الصورة التي يكتبها الكتاب. هذا الضرب خطوةٌ لا يذكرها، وهي التي تقلب الإشارات الثلاث.
$\vec{K B} - 2 \vec{K C} + 3 \vec{K G} = \vec{0}$
5. ⑤ تحقّق من الشرط، ثمّ اقرأ قبل النطق بالكلمة: $1 + (- 2) + 3 = 2$ ، وهو غير معدوم. إذن $K$ مركز الأبعاد المتناسبة لـ $(B, 1)$ و $(C, - 2)$ و $(G, 3)$ ، وثلاث نقاطٍ تعني مستوياً، فـ $K$ تقع في $(B C G)$ .
$1 + (- 2) + 3 = 2 \neq 0$
6. ⑥ الرسم في خطوتين اجمع أوّلاً $(G, 3)$ و $(C, - 2)$ في نقطةٍ $L$ ، ومجموعهما $1$ وهو غير معدوم. من $3 \vec{L G} - 2 \vec{L C} = \vec{0}$ يتبع $\vec{G L} = - 2 \vec{G C}$ ، أي إنّ $L$ على امتداد $[C G]$ وراء $G$ بمقدار ضعفَي $G C$ . ثمّ تصير المسألة نقطتين بمعاملٍ واحدٍ لكلٍّ منهما.
$\vec{G L} = - 2 \vec{G C}$
7. ⑦ الموضع النهائيّ بقيت $(B, 1)$ و $(L, 1)$ ، ومعاملاهما متساويان، فـ $K$ منتصف $[B L]$ .
$\vec{K B} + \vec{K L} = \vec{0}$

قاعدة الأساس هي المفتاح: النقطة المجهولة هي التي تصير بدايةً لكلّ الأشعّة. ما دام في العلاقة شعاعٌ لا يبدأ من تلك النقطة، فلم تنتهِ بعد، مهما بدت الصورة قريبة. وبعد أن تصل، احسب مجموع الأمثال قبل أن تسمّي شيئاً مركزاً.

a \vec{K B} + b \vec{K C} + c \vec{K G} = \vec{0}, a + b + c \neq 0

L

على امتداد

[C G]

بحيث

\vec{G L} = - 2 \vec{G C}

، و

K

منتصف

[B L]

. ولاحظ أنّ

B

C

G

K

كلّها على الوجه الأيمن وامتداده، وهو المستوي

(B C G)

انتبه: الحرف $G$ في هذا الدرس يدلّ على شيئين مختلفين، وبينهما صفحةٌ واحدة: في مثال رباعي الوجوه هو مركز الثقل، وفي مثال المكعّب هو رأسٌ من رؤوس المجسّم، وهو الذي يظهر في $3 \vec{A G}$ داخل الفرض. اقرأ في كلّ تمرينٍ تعريف الحروف من جديد ولا تحملها من تمرينٍ إلى آخر. وهي الفخّ نفسه الذي وقع فيه الحرف $I$ في الدرس الثاني.

وصلتَ إلى $\vec{M A} - 3 \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ . ماذا أثبتّ عن $M$ ؟

كيف أبدأ؟ عُدّ النقاط التي بقيت في العلاقة، ثمّ تحقّق من الشرط. وتذكّر القاعدة: عدد النقاط الباقية هو الذي يسمّي النتيجة، لا شيء آخر.

أ)أنّ $M$ تقع على المستقيم $(A C)$
ب)لا شيء، لأنّ فيها معاملاً سالباً
ج)أنّ $M$ تقع في المستوي $(A B C)$

ج. نعم. المجموع $- 1$ غير معدوم فـ $M$ مركز $(A, 1)$ و $(B, - 3)$ و $(C, 1)$ ، وثلاث نقاطٍ تعطي مستوياً. لو أردت الاستقامة لوجب أن تجمع نقطتين منها في نائبٍ أوّلاً.